La Multi Ani!

Fiind sfirsit de an sunt zile mai libere. Intodeauna au fost pentru mine  zile de reflexie si de bilant. Am descis sa schimb titlul blogului si in ceea ce este el de fapt: un jurnal al meu.

Va urez un sfirsit de an placut, cu sanatate si plin de bucurii. Sper ca 2010 sa aduca oamenilor curati si cinstiti tot ce este mai bun pe lume iar celorlati ‘oameni’ … sa nu uite ca toate pe lumea asta se platesc. Multumesc din suflet studentilor care au fost alaturi de mine in acest an teribil de greu pentru mine.

La Multi Ani!

Dupa 20 de ani …

Acum 20 de ani, fix la ora asta 20, eram student in anul V (master) si in vacanta la Sibiu. Era ora la care impreuna cu sotia ii faceam baia inainte de culcare lui Andrei care avea 5 luni. A intrat in camera soacra mea si cu vocea gituita de emotie a strigat “A incepuuuut, a incepuuut la Timisoara”. Asculta Europa libera si stiam ce a inceput. Asteptam si speram sa “inceapa”. Studentilor de azi, care aveau atunci citiva ani sau nu erau nascuti le recomand sa audieze ce vorbea Nicolae Ceausescu (agramatul din film) cu celelalte lichele ale statului comunist de la filmul de aici http://www.youtube.com/watch?v=oGQLHYQBTFQ&feature=player_embedded# E o teleconferinta despre cum au pus la cale reprimarea revolutiei tinerilor din Timisoara. Iar un mic film despre represiune e aici http://www.youtube.com/watch?v=fz_XUg8anMo&feature=related

Sa pastram un moment de reculegere pentru tinerii (asa cum sunteti voi azi) care au murit pentru niste idealuri… Idealuri care au ramas si azi din pacate doar idealuri. Romania de azi e condusa tot de ‘ei’ sau de urmasii lor.

Prezidentiale turul II: o alegere rationala. Basescu

Postul este scris cu o saptamina ianinte de turul II al alegerilor prezidentiale.

Up-date: Acum doua saptamini (am urmarit foarte atent dezbaterea in trei: Geoana, Antonescu, Basescu) Geoana nega ca s-ar fi intilnit vreodata cu Sorin Ovidiu Vantu. La citeva zile dupa aceea Vantu a confirmat ca s-a intilnit cu Geoana. Azi Geoana in Gazeta Sporturilor ii recunoaste lui Tolontan in Gazeta ca s-a intilnit cu Vantu de 2-3 ori si iata ce spune prostanacul la http://www.tolo.ro/2009/12/03/interviu-mircea-geoana-schimb-procurorul-general : “Am vorbit cu Vântu despre sistemul financiar-bancar din România, despre modul în care putem găsi resurse inclusiv pe piaţa de capital pentru a putea să capitalizăm economia românească” Lovitura de maciuca i-a aplicat-o lui Geoana “Academia Catavencu” http://www.catavencu.ro/ieri_noapte_geoana_l_a_vizitat_pe_malefic-11568.html

Azi noapte unul care se pregateste sa devina presedintele Romaniei se duce la 12 noaptea la Vantu acasa. La ordin! Cum poate deveni un astfel de om presedintele statului?

In turul I am votat Crin Antonescu si acum regret. Ar fi trebuit sa votez Remus Cernea: era cel mai tanar si deci cel mai curat dintre toti. Dar m-am zis ca nu are sanse, poate intra Crin in turul doi si nu Geoana etc. M-am ofticat pe decizia de a doua zi a Crinului de a sari in barca PSD-ului unde coltii razbunarii lui Adrian Nastase (si a unei intregi clici din mafia politic0-economica a ultimilor 20 de ani) impotriva marinarului se ascut pe zi ce trece. Crin Antonescu a pierdut ocazia de a tace: daca ar fi avut inteligenta si caracter ne lasa pe fiecare din noi sa alegem si sa decidem ce vrem.

Evident ca Basescu l-a altoit pe acel copil: un gest facut la nervi! Sa fim insa onesti: citi dintre noi nu am luat bataie de la adulti, altii decit parintii nostri? Sa fim cistiti: eu am luat-o pe coaja de la invatatoare, profesori, vecini etc.

Ce ne asteapta cu Geoana presedinte?

1) Revenirea Ecaterinei Andronescu la Ministerul Educatiei (sau, daca ministerul revine PNL, va fi Andrei Marga cu care cei doi “mari” politicieni Crin si Geoana au si vorbit deja). Ii vreti pe ei (doi rectozauri ai “sistemului universitar”) ministri? Votam Geoana! Dinspre PDL e nominalizat Daniel Funeriu (scolit in vest): cititi CV-ul, opera ISI, indicele Hirch (1o) si mai ales e tinar, foarte tanar si nu a mancat rahat PCR-ist. Nu va fi ministru desi cind activam civic pentru un astfel de portret de ministru militam: iata e propus un astfel de om ministru si nu ajunge fiind blocat de o situatie imposibila … Romania are nevoie de un ministru al invataminului de tipul Funeriu: scolit la mari universitati ale lumii care sa nu fie manjit de porcariile sistemului universitar autohton in care Andronescu sau Marga sunt doar doi din exponatele muzelui de antichitati.

2) PSD-ul va reveni pe cai mari (sigur Adrian Nastase va fi presedintele PSD si prim ministru in maxim 5 luni — dupa ce il mazilesc pe Johanis — imi si pare rau de el ca il vor ‘face’ rechinii astia in doi timpi si trei miscari). Vor fura astia pe rupte ca intre 2000-2004 pentru ca de Geoana le e mai putina frica decit de Iliescu. Oftica lor mare e ca, sa il citez pe santajistul ala Chiriac din gasca SRS: “suntem suparati ca Videanu si Berceanu nu impart cu nimeni“.

Patriciu, Vantu, Voiculescu, Copos, Adrian Nastase (adica toti cei care s-au ales cu dosare penale sub Basescu presedinte) etc etc etc vor primi NUP-ul linistii pentru ca nu degeaba l-au sustinut pe Geoana.

Ce ne asteapta cu Basescu Presedinte?

Nimic sigur! Poate doar o speranta mica ca poate pune presiune sa se reformeze statul roman si un mare mafiot va intra la puscarie! Mafiile din politica le gastiti multiplicate in toate institutiile publice din ro. Le stim foarte bine pe cele din facultati si universitati unde paine si cutitul e detinuta de oamnii din ‘generatia PCR’. Ne mai asteapta scandaluri politice. Dar “linistea FNI-ului lui Vantu” a fost buna cand asta a jefuit sute de mii de gugustiuci mioritici?

Pe cine votez duminica? Grea intrebare! O sa ascult sfatul lui Andrei Plesu din Dilema Veche de saptamina asta. O sa votez Basescu. Chiar daca va pierde si 99% va pierde pentru ca are toata media (controlata de miliardarii romani din afacerii cu statul) contra lui. Iar Andrei Plesu e unul care a fost consilierul lui Basescu si primul care l-a parasit: asadar il stie foarte bine pe marinar dar ii stie la fel de bine si pe ceilalti si ce e in spatele lor.

Ce s-a intimplat azi de 1 decembrie la Timisoara, Piata Universitatii si alte orase si manipularea pur ceausist-securista (un dobitoc de la PNL ziceau ca cei din Timisoara sunt huligani – precum Ceausescu in 89) a televiziunilor “mogulilor” si a TVR-ului m-a lamurit definitiv: Basescu Presedinte! Puteti citi pentru obiectivitate si a fi feriti de mizeria pe care il face Realitatea TV, Antenele, TVR site-ul agentiei de presa hotnews.ro si aici:

http://www.hotnews.ro/stiri-ultima_ora-6593045-video-aproximativ-500-oameni-protestat-piata-universitatii-semn-solidaritate-incidentele-din-timisoara-participantii-sustin-vor-continua-protestele-miercuri.htm

Algebre Hopf, grupuri cuantice anul VI: rezumatul cursurilor

Algebre Hopf: rezumatul cursurilor.

Life after Kaplanski five : din nou despre antipodul unei algebre Hopf. Conjectura 5 a lui Kaplanski si algebre Hopf involutorii. Bijectivitatea antipodului unei algebre Hopf finit dimensionale (demostratie directa, fara teorema de unicitate a integralelor). Teorema Chirvasitu : antipodul oricarei algebre Hopf este epimorfism si monomorfism in categoria Hopf. Duale pentru module si comodule: “rigiditatea” categoriilor pentru algebre Hopf involutorii. Aplicatie: teorema Serre pentru algebre Hopf involutorii. Noi constructii de algebre Hopf (1): the twist construction si importanta sa in teoria clasificarii (teorema Drinfel’d, 1989). Izomorfismul intre doua produse twisted. Noi constructii de algebre Hopf (2): deformarea multiplicarii via un cociclul Sweedler (Y. Doi, 1993). Izomorfismul intre doua produse deformate in sensul lui Doi. Aplicatie remarcabila a constructiei: Dublu Drinfel’d ca algebra Hopf deformata via un cociclul Sweedler (teorema Doi-Takeuchi). Probleme de studiu si cercetare. Noi constructii de algebre Hopf (3): produsul bicrossed (double cross product in terminologia Majid) de algebre Hopf: constructie si teorema de caracterizare (problema de factorizare): teoremele Majid. Cazuri speciale de produse bicrossed: produs smash de algebre Hopf si siruri splitate. Descrierea nuclelor in categoria algebrelor Hopf, morfisme normale si teorema Molnar. Dublu Drinfel’d ca produs bicrossed (in toate variantele sale) si dubluri cuantice generalizate asociate unei “dualitati” (paired) in caz infinit dimensional. Dublul Drifel’d al agebrei grupale. Constructia duala: bicrossed coproduct de algebre Hopf. Smash coproduct. Noi constructii de algebre Hopf (4): constructia biprodusului Radford si bosonizarea Majid. Cazuri speciale de biproduse si interpretarea categoricala a teoremei Radford. Algebre, coalgebre si bialgebre in categoria de module Yetter-Drinfel’d. Extinderi splitate de algebre Hopf: teorema Radford.

Grupuri cuantice: rezumatul cursurilor.

Ecuatia cuantica Yang-Baxter (QYBE) si ecuatia braid (BE). Echivalenta dintre ele, forma scalara. Primele exemple de solutii la QYBE: operatorul clasic YB si generalizari ale lui. Solutii la QYBE din algebre si coalgebre (Nuss, Beidar, Fong, Stolin, etc) si legatura cu algebre separabile si Frobenius. Algebre Hopf vs QYBE: algebre Hopf quasitriangulare (resp. braided) si teorema Drinfel’d (resp. Larson Towber). Module Yetter-Drinfel’d vs QYBE: teorema Yetter. Constructii de module cuantice Yetter-Drinfel’d. Obstructii Yetter-Drinfel’d si o noua lema tehnica. Teorema FRT: cele doua variante ale ei. Aplicatii ale teoremei FRT: constructia grupurilor cuantice si . Clasificarea solutiilor QYBE dupa teorema FRT. Dublu Drinfel’d ca algebra Hopf quasi triangulara si echivalenta reprezentarilor sale cu modulele Yetter-Drinfel’d. Algebre Hopf quasitriangulare: propietati de baza si exemple. Teorema Drinfel’d privind antipodului unui algebre Hopf QT. Rigiditate categoriei de module peste o algebra Hopf QT. Dualizarea conceptului: algebre Hopf co-quasitriagulare. Categorii Monoidale: conceptele de baza. Primele propietati ale categoriilor monoidale. Teorema de ’strictete’ Mac Lane si teorema de coerenta Mac Lane. Categorii braided: primele proprietati, diagrama dodecagon si ecuatia braid in categorii braided. Exemple de categorii monoidale si braided. Algebre Hopf QT si categorii braided. Centrul unei categorii monoidale. Centrul categoriei de H-module = modulele Yetter-Drinfel’d (teorema Majid). Echivalenta dintre categoriile de module Yetter-Drinfel’d stingi -drepte.

Propuneri de referate pentru cele doua cursuri (*):

1) Formula S^4 si teorema Radford – luat de Cristi Popa

2) Teorema Molnar legat de algebrele Hopf cu propietatea Chevalley.

3) Biprodusele Radford pentru algebre Hopf – luat de Ana Agore

4) Teorema Nichols-Zoeller – luat de Cezar Lupu

5) Universalitatea bialgebrei A(R) si cind A(R) este izomorfa cu A(R’)? (th. Radford).

6) Teorema FRT “redusa” si cind A’(R) este biagebra pointed (th. Radford).

7) Forme parametrizate ale ecuatiei cuantice Yang-Baxter.

8 ) Ecuatia cuantica Yang-Baxter pe multimi – luat de Ana Agore

9) Teorema Lu: dublu Heisenberg este un produs crossed trivial al dualului dublului Drinfel’d. (referinta: Montgomery, pg. 196).

10) Teorema Lyubashenko – luat de Octavian Babus.

11) Teorema Schauenburg-Doi privind antipodul unei algebre Hopf co-quasitriangulare.

(*) Asa cum am anuntat la curs pentru a primi puncte pentru un referat (pana la 10 puncte) el trebuie expus la tabla (fie la curs fie la seminar – avem de recuparat cursurile din 1 si 2 octombrie cind nu s-au facut ca nu aveam orar) si sa fie inteles in profunzime de cel ce il expune si nu copiat mecanic de pe foi dupa datina strabuna. Se poate primi si zero puncte pentru un referat prost facut.

Regula jocului la cele doua cursuri: am spus-o la primul curs. Ramane acelasi joc ca si anul trecut cu puncte acumulate in timpul anului din temele propuse si referate. Problemele vor fi lasate insa direct in cursul predat la tabla (cei care nu pot veni le gasesc la colegii lor in notele de curs) si termenul de rezolvare pentru fiecare problema este doua saptamini de la data propunerii la tabla.

NOU! Punctaje acumultate din rezolvari de probleme si referate:

1) Algebre Hopf: Ana Agore 27, Costel Bontea 27, Cristi Popa 19, Cezar Lupu 4, Octavian Babus 2.

2) Grupuri cuantice: Costel Bontea 31, Ana Agore 30, Octavian Babus 22, Sorina Predut 21, Cristi Popa 19, Nona Craciun 7, Ionela Preda 2.

Seminarul Stiintific Studentesc de Algebra: anul al III-lea

Aflat in al treilea an de existenta ca obiectiv asumat al Proiectului de Cercetare ID_1002 « Grupuri, Grupuri Cuantice, Coringuri si Teoria Reprezentarii » din cadrul Programului ‘Idei’ al Planului National de Dezvoltare, Cercetare si Inovare PN II va continua si in acest an universitar Seminarul Stiintific Studentesc de Algebra (SSSA).

Tema majora abordata in aceasta toamna:

Algebre Hopf pointed: teoreme de structura

Expuneri Ana Agore (ana.agore@fmi.unibuc.ro)

Seminarul va avea loc in fiecare zi de joi, incepind cu 8 octombrie 2009 ora 14, sala 215

Va asteptam cu drag!

Articole stiintifice scrise cu studenti sau de studenti la probleme de cercetare propuse in cadrul SSSA in primii doi  ani de existenta:

arXiv:0805.4077 Crossed product of groups. Applications. A. L. Agore, G. Militaru, AJSE, Special Number Interactions of Algebraic & Coalgebraic Structures (Theory and Applications), 33 (2008), 1-18.

math/0703471 Bicrossed products for finite groups. A. L. Agore, A. Chirvasitu, B. Ion, G. Militaru. Algebras and Representation Theory 12 (2009), no. 2-5, 481-488

arXiv:0907.2881 On epimorphisms and monomorphisms of Hopf algebras. Alexandru Chirvasitu va apare in J. Algebra

arXiv:0809.0433 Crossed Product of Cyclic Groups. Ana-Loredana Agore, Dragos Fratila. va apare in Czechoslovak Mathematical Journal

arXiv:0903.5060 Deformations of a matched pair and Schreier type theorems for bicrossed product of groups. A. L. Agore, G. Militaru, trimis spre publicare

arXiv:0902.4012 When is the diagonal functor Frobenius? Alexandru Chirvasitu, trimis spre publicare

arXiv:0905.2613 Categorical Constructions for Hopf Algebras. A. L. Agore, trimis spre publicare

Limits of coalgebras, bialgebras and Hopf algebras, A. L. Agore, trimis spre publicare

arXiv:0908.2959 Monomorphisms of Coalgebras. A. L. Agore, trimis spre publicare

Prof. dr. Gigel Militaru gigel.militaru@gmail.com

Noutati de toamna: articole Alex, Ana, Dragos

Mai inti urez din toata inima mult succes lui Alex Chirvasitu la Univ Berkley si lui Dragos Fratila la Ecole Normale Superieure din Paris. Sunt deplin increzator in drumul lor viitor in matematica si ca vor face treburi deosebite. Pentru mine ca profesor a fost o mare bucurie sa lucrez cu ei in ultimii 3 ani atit la curs cit si la Seminarul Stiintific Studentesc de Algebra (SSSA). Ping-pong-ul (sportul preferat al lui Dragos) de intrebari saptaminale de la seminar si zilnic prin miile de mailuri pe care le-am schimbat in ultimii trei ani cu ei a fost un exercitiu intelectual deosebit si o bucurie pentru orice profesor. Ma bucur ca acest joc pe care l-am avut s-a concretizat in articole publicate sau trimise spre publicare de studenti. Chiar daca doi membri  nu vor fi aici, Seminarul Stiintific Studentesc va contiuna sperind ca altii sa li se adauge si sa obtina rezultate asa cum am fost obtinute in ultimii trei ani. Programul pentru toamna lui 2009 al SSSA va fi anuntat in curind.

Ultimele noutati stiintifice ale rezulatelor acestor tiner (le iau cronologic):

1) In 1 septembrie 2009 articolul cu Ana si Dragos ca autori de aici http://front.math.ucdavis.edu/0809.0433 a fost acceptat spre publicare intr-o revista serioasa de matematica: Czechoslovak Mathematical Journal. E cea mai buna revista de matematica din Cehia, publicata de Springer, cotata ISI si care in 2008 a avut un factor de impact de peste 0,2. Cu acest articol a fost o intreaga odisee. Primele teoreme din el au fost facute si expuse de Ana in primele seminarii ale SSSA in noiembrie 2007. Problema din partea a doua am pus-o atunci la seminar si aici pe blog si Dragos a intuit atunci rezultatul pe blog si apoi l-e detaliat si prezentat in seminar. Articolul are sare si piper si are un rezultat bun in el. A fost gresala mea si imi cer scuze fata de ei ca initial le-am recomandat sa il publice intr-o revista romanesca. Ei bine ce nu a fost acceptat in Ro pe motivul … ca in 5 luni nu s-a gasit un referent din teoria grupurilor (“domnuuu’, ma lashi?” ar zice celebra Mioara Mantale) s-a accepat intr-o revista mult mai valoroasa de afara si care are si un factor de impact serios.  Ii felicit pe ambii pentru reusita si cum pentru Dragos e primul articol publicat ISI il urez la mai bine! Morala pentru mine:  NU voi mai recomanda nici unui student sa incerce sa publice matematica in tara. In loc de asta le voi recomanda sa citeasca articolul lui Costica Bradatean care explica el pe ce critarii se publica stiinta in Romanica (CB zicea de:  “umorile sefilor, criterii de cumetrie, sau pur si simplu pe: dai si tu o bere?” ).

2) Un alt articol nou si foarte misto al lui Alex a fost scris in vara asta in iulie: e cel de aici http://front.math.ucdavis.edu/0907.2881 si ataca problema (mono)epimorfismelor in categoria algebrelor Hopf. La ultimul seminar din mai am povestit un pic despre problema si am dat o teorema cunoscuta de caracterizare pentru epi de algebre. Alex a continuat studiu si scrie un articol deosebit cu o redactare impecabila. Mai inti arata o chestie surpinzatoare: antipodul oricarei algebre Hopf este epi si mono intre H si H{op, cop}. Apoi lega problema de celebra conjectura 1 a lui Kaplanski si in final rezolva o problema lasata in articolul precedent al Anei http://front.math.ucdavis.edu/0905.2613 de constructie efectiva si concreta a cofree Hopf algebra pe orice algebra. Articolul merita citit ca aveti ce invata din el.

3) Legat de aceiasi problema mono-epi in august Ana a trimis spre publicare articolul de aici http://front.math.ucdavis.edu/0908.2959 in care da noi criterii necesare si suficiente ca un morfism de coalgebre (reps. algebre Hopf) sa fie monomorfism. Patru caracterizari (mult mai usoare) fusesera facute de altii acum peste 10 ani. In articolul prezent sunt date doua noi critarii: unul coomologic si unul ‘elementar’ pe … elemente. La fel,  recomand citirea lui ca merita.

Sa ne auzim cu bine si in nou an universitar si mult succes tinerilor oriunde s-ar afla!

Curs 14 algebre Hopf, detalii examene, sinteza teoriei

Curs 14, joi 21 mai 2009: Orice algebra Hopf finit dimensionala este Frobenius. Teorema Maschke pentru algebre Hopf finit dimensionale si exemple. Elementul grupal distins si algebre Hopf unimodulare. Algebre Hopf cosemisimple: Teorema Maschke pentru algebre Hopf infinit dimensionale. Separabilitatea extinderilor Hopf-Galois pentru algebre Hopf finit dimensionale semisimple. Discutii si detalii despre examen.

Examen restanta Teoria Categoriilor, 25 mai, ora 9: Restanta se va desfasura cu aceleasi reguli ca examenul din iarna expuse la http://gigelmilitaru.wordpress.com/2009/01/14/curs-14-seminar-stiintific-examen Proba scrisa dintr-o lista de probleme si cine doreste apoi sa isi mareasca nota participa la proba orala fiecare student sa aiba pentru asta pregatite o lista de 10 subiecte din materia predata.

Examen Algebre Hopf, 2 iunie ora 9. Examenul se va desfasura dupa regulile stabilite la primul curs. Fiecare student are un numar de puncte obtinute din rezolvarile de probleme sau referate. La examen veti primi o lista vasta de probleme din care fiecare student poate rezolva cite doreste pentru a obtine 30 de puncte (pentru nota 10). Totodata pentru examenul de oral (teorie), pentru cine doreste aceasta optiune, fiecare student sa isi pregateasca o lista de 10 subiecte din materia predata in acest semestru. Mai jos este sinteza detaliata a teorie predate la curs.

Sinteza detaliata a teoriei predate la cursul de Algebre Hopf sem. II, 2009: Algebre asociative: definitii echivalente. Categoria k-Alg si k-AlgCom (produse directe, produse subdirecte si (co)egalizatori). Exemple standard de k-algebre. Inapoi la clasici: constantele de structura. Produs tensorial de k-algebre, proprietatea de universalitate si teorema Noether. Constructii speciale de k-algebre: algebra of quantum mechanics, algebra tensoriala. Constructii speciale de k-algebre (I) : algebra liber generata de o multime, algebre simetrice, algebre exterioare (Grassmann), algebre Clifford. Coproduse in categoria k-Alg si k-AlgCom. Constructii speciale de k-algebre (II): produsul crossed la nivel de algebre si cazuri speciale (skew group algebra si twisted product algebra), teorema Maschke pentru produse crossed. Produsul bicrossed de algebre (twisted tensor product algebra), constructie. Produsul bicrossed de algebre (twisted tensor product algebra), exemple si problema de factorizare: probleme recente de cercetare. Module peste algebre: definitii echivalente. Coalgebre si Coringuri: definitii de baza. Exemple diverse de coalgebre si coringuri (I). Produs tensorial de coalgebre si coprodusul bicrossed de coalgebre. Exemple diverse de coalgebre si coringuri (II). Algebra duala unei coalgebre si coalgebra duala unei algebre finit dimensionale. Exemple. Teorema de dualitate algebre vs coalgebre in cazul finit dimensional. C ca un C*-bimodul. -ringurile duale asociate unui R-coring. Concepte de baza in categoria coalgebrelor: coproduse, subcoalgebre, coideale, coalgebre factor, teorema fundamentala de izomorfism, coegalizatori, egalizatori, produse directe (*). k-CoAlg e o categorie completa si cocompleta. Elemente grupale: definitie, proprietati, exemple. Comodule: drepte, stingi, bicomodule. Exemple de comodule: comodule peste coalgebra grupala, comodule vs matrici comultiplicative, functorul corestrictia scalarilor pentru coalgebre si produsul cotensor ca adjunct la dreapta. Functorul uituc si adjunctul sau la dreapta (cofree comodule). Hom-tensor relations pentru comodule. Teorema fundamentala pentru comodule si coalgebre. Comodule vs Module. Functorul fidel si ful de la categoria de comodule la categoria de C*-module. Module rationale: echivalenta de categorii intre modulele rationale si comodule. Bye, bye coalgebras (*). Bialgebre: definitie. Categoria Bialgebrelor si constructia bialgebrei liber generate de o coalgebra. (Co)Generatori pentru categoria de coalgebre, bialgebre. Duala unei bialgebre finit dimensionale. (C0)module peste bialgebre. Algebre Hopf, duala unei algebre Hopf finit dimensionale. Categoria algebrelor Hopf nu are cogeneratori si are un generator. Proprietatile antipodului. Perechea de functori adjuncti intre categoria grupurilor si categoria algebrelor Hopf si functorul scufundare (categoria grupurilor este echivalenta cu o subcategorie de algebre Hopf). Teorema de echivalenta/dualitate pentru grupuri finite si algebre Hopf. Exemple de algebre Hopf: algebra grupala, duala algebrei grupale, algebra tensoriala, algebra simetrica, algebra anvelopanta unei algebre Lie. Perechea de functori adjuncti intre categoria algebrelor Lie si algebre Hopf. Alte exemple de algebre Hopf (I): Gl(n), Sl(n), algebre de polinoame, etc. Alte exemple de algebre Hopf. Module Hopf: exemple de module Hopf. Adjunctii functorilor uituci pentru module Hopf. Functorul de luare a coinvariantilor: reprezentabilitatea sa si adjunctul la stinga pentru bialgebre. Teorema fundamentala pentru module Hopf. Actiuni de algebre Hopf pe k-algebre (H-modul algebre): definitii echivalente si cele patru concepte de H-(co)modul (co)algebre. Produs smash: constructie si reprezentarile sale (th. Gordon-Robson). Exemple de actiuni si produse smash: produse semidirecte de grupuri, actiuni de grupuri pe k-algebre si skew group algebra, inele graduate si produsul smash (Quinn), actiuni prin derivari ale algebrelor Lie si inelul de polinoame diferentiale, dublul Heisenberg (teorema de structura Montgomery), etc– toate astea si altele sunt cazuri speciale ale contructiei Sweedler a produsului smash asociate unei actiuni de algebre Hopf pe k-algebre.  Produs crossed pentru algebre Hopf. Coactiuni de algebre Hopf si exemple. Module Hopf relative: teorema de echivalenta in caz finit dimensional. Functori pentru module Hopf relative: functorii uituci si adjunctii lor, functorul indus si adjunctul sau drept (functorul reprezentabil al luarii coinvariantilor). Weak structure theorem (th. Schneider): integrale totale si functorul indus (fidel si ful). Extinderi Hopf-Galois: exemple. Produs smash pentru H-comodul algebre. H-(co)modul coalgebre: exemple. Doi-Koppinen datum si reprezentarile lor: cazuri speciale de Doi-Koppinen module. Pledoarie pentru coringuri: comodule peste coringuri vs Doi-Koppinen module. Integrale pe o bialgebra: definitii si exemple. Intregrale intr-o algebra Hopf finit dimenensionala: definitii, exemple, teorema de unicitate a integralelor (Larson Sweedler). Orice algebra Hopf finit dimensionala este Frobenius. Teorema Maschke pentru algebre Hopf finit dimensionale si exemple. Elementul grupal distins si algebre Hopf unimodulare. Algebre Hopf cosemisimple: Teorema Maschke pentru algebre Hopf infinit dimensionale. Separabilitatea extidenerilor Hopf-Galois pentru algebre Hopf finit dimensionale semisimple.

Ana Agore: un articol provocator

Motto: “Daca vrei sa faci progrese in stiinta studiaza-i doar pe marii maestrii”, Constantin Noica

In matematica sunt putini marii maestrii. In algebre Hopf unul din cei putini alesi, care au dat sensuri si directii noi de lucru este categoric Moss Sweedler. Cartea sa e una din cele mai citate carti de mate pura din ultimii 40 de ani. Acolo lasa niste “exercitii”. La plesneala! Unul din ele spunea ca exista o free algebra Hopf pentru orice coalgebra: au trecut vreo 3 ani pana cind “exercitiul” din Sweedler a devenit teorema  M. Takeuchi intr-o contructie extrem de abila si deloc banala. Alt exercitiu e varianta duala:  exista o cofree Hopf algebra peste orice bialgebra (resp. algebra). Pana acum problema nu avea demostratie: decit unul partial dat anul trecut intr-un articol din JPAA in care se arata ca daca e adevarata problema lui Sweedler atunci exista si una cocomutativa.  Am lasat pe blog, la curs si la seminar prin iarna niste probleme. Intrebam de existenta sau nu a produselor in categoria coalgebrelor: Ana a dat solutia intr-o saptamina (e fisierul atasat pe aici pe undeva) apoi am pus problemele astea concrete (ca de, nu degeaba ceream produsele alea si nu degeaba am dat si la referat in semestru I cazul Grupurilor vs monoizi !) si totul a capatat contur in acest articol al ei de aici http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0905/0905.2613v1.pdf O felicit pentru articol si pentru nobletea de care da dovada dedicind acest articol regretatei doamne Liliana Pavel. A fost o profesoara foarte buna, corecta si asta stiu de la studentii cei mai buni: nu intimplator Alex Chirvasitu a avut licenta sub coordonarea dinsei.
Despre articolul lui Alex din iarna scriam ca e super fain si asa si este. Articolul Anei este … provocator. Este provocator, pentru ca desi demostreaza existenta adjunctilor despre care spunea Sweedler nu ii construieste efectiv (decit bucata de la bialgebre la algebre) ci arata existenta folosind chestii grele de tot care pe vremea lui Sweedler nu erau inventate inca: ’special adjoint theorem’ si mai ales categorii local prezentabile si co-locally small. Un pas important in demostratie este ca Hopf e o categorie co-locally small! Iar asta e un lucru teribil de complicat ca ai de aratat o chestie de … fundamentele matematicii: anume ca o clasa e o multime.

Scriu ce am scris si la articolul lui Alex: ambele articole lanseaza probleme ce pot fi continuate si sapate in continuare in adincime. La articolul Anei prima miza ar fi constructia efectiva a adjunctului drept de la Hopf la Bialgebre, fara sa folosim chestii nasoale. Cred ca e posibil, dar mai cred ca nu e deloc usoara problema! Asa ca avem si … tema de vacanta!

Algebre Hopf curs 13

Curs 13, joi 14 mai 2009. Produs smash pentru H-comodul algebre. H-(co)modul coalgebre: exemple. Doi-Koppinen datum si reprezentarile lor: cazuri speciale de Doi-Koppinen module. Pledoarie pentru coringuri: comodule peste coringuri vs Doi-Koppinen module. Integrale pe o bialgebra: definitii si exemple. Intregrale intr-o algebra Hopf finit dimenensionala: definitii, exemple, teorema de unicitate a integralelor (Larson Sweedler).

Algebre Hopf curs 12, lista 3 de probleme, referate.

Curs 12, joi 7 mai 2009. Produs crossed pentru algebre Hopf. Coactiuni de algebre Hopf si exemple. Module Hopf relative: teorema de echivalenta in caz finit dimensional. Functori pentru module Hopf relative: functorii uituci si adjunctii lor, functorul indus si adjunctul sau drept (functorul reprezentabil al luarii coinvariantilor). Weak structure theorem (th. Schneider): integrale totale si functorul indus (fidel si ful). Extinderi Hopf-Galois: exemple.

Lista 3 de probleme e aici:  http://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/05/hopf34.pdf Se pot aduce solutii pana in ziua de examen. Un student poate acumula din lista 3 maxim 10 puncte.

Propuneri referate: 1) Constructia produsului crossed pentru algebre Hopf. 2) Teorema Santos.

Bibliografie: Montomery: Hopf algebras….