Algebra necomutativa – Prof. dr. Gigel Militaru

Algebra Anul I, semestrul 1

·

Notele de curs. Inregistrarea cursurilor: https://youtube.com/c/gigelmilitaru (playlist: Cursuri Algebra, Anul I)

1: Scurt istoric. Rezolvarea ecuatiilor de grad < 5 (24 pagini): Introducere

2: Multimi si functii (48 pagini): multimi

3: Legi de compozitie, grupuri (prima parte, 34 pagini): grupuri_1

4. Grupuri (partea a doua, 50 pagini): grupuri_2

5. Inele si corpuri (62 pagini): inele_corpuri

Rezumatul cursului: Rezumatul_cursului

Probleme pentru seminar:

Setul 1 (10 pagini): Seminarii_Multimi_Functii

Setul 2 (14 pagini): Seminarii_Grupuri_1

Setul 3 (4 pagini): probleme_grupuri_2

Setul 4 (12 pagini): probleme_inele

Test seminar: Lucrare_17_nov_2020   Examen: Examen_Anul_1_2021  Restanta: Restanta_04_06_2021 ReRe: ReRe_1_09_2021 

Solutii deosebite si articole ale studentilor la teme din curs/seminar:

  1. Constructia inversei functiei lui Cantor (NxN e numarabila) – Alexandru
  2. Articol: Andrei a rezolvat problema de cercetare din curs (pg. 24 verso): Andrei_Pantea 
  3. Articol didactic (grupuri si morfisme): Alexandru_Pirvuceanu
  4. NOTA: articolele lui Andrei si Alexandru au fost premiate de FMI:   https://drive.google.com/file/d/1v1U_uJHpPp8xn4MEQfrkqxTEe_CLT6Ks/view
  5. Octavian Joita (sistem de reprezentanti, problema din curs): Octavian_Joita_Algebra_exercitiu_curs_4

Resurse on-line suplimentare:  

  1. MoodleUB: https://moodle.unibuc.ro
  2. Grupul facebook al cursurilor predate de mine: https://www.facebook.com/groups/algebra.cursurile.mele 
  3. Forum-uri mate: https://mathoverflow.net/questions https://math.stackexchange.com
  4. Ce este „1+1 = 2”: o notatie, o definitie, o teorema, o axioma? Articol: Peano_GMA 
  5. Filme scurte, bine motivate (exemple si definitii):  https://www.socratica.com/subject/abstract-algebra
  6. 36 de cursuri de la Harvard: https://www.youtube.com/playlist?list=PLelIK3uylPMGzHBuR3hLMHrYfMqWWsmx5
  7. 32 de lectii de teoria grupurilor Richard E. BORCHERDS (Berkeley) https://www.youtube.com/watch?v=RnqwFpyqJFw&list=PL8yHsr3EFj51pjBvvCPipgAT3SYpIiIsJ
  8. Note de curs Algebra Abstracta (Prof. M. Khovanov, Columbia Univ.): http://www.math.columbia.edu/~khovanov/ma2_fall/
  9. Cursuri on-line de Algebra Abstracta (+ mici probleme): https://www.youtube.com/playlist?list=PLF379B0552AD17780
  10. Constructia pur algebrica a lui R, direct din Z: https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/02/03/constructia-numerelor-reale-direct-din-intregi/?fbclid=IwAR1g-zLKx4jdg6Wu68p_b4v8_qN7J454016upl8f0Sr8eY-FbetZ4oFGjqA
  11. Blog algebra https://ysharifi.wordpress.com
  12. Cursuri de mate on-line: https://www.onlinecourses.com/math/ 

Nota: Cursul acesta a fost premiat 🙂 in 16/12/2020 de Senatul UB la sectiunea „cel mai inovator curs in domeniul stiintelor exacte si inginerie”. Vezi: https://unibuc.ro/wp-content/uploads/2020/12/Castigatori-Premiile-Senatului-UB-ed.-IV-.pdf si https://www.facebook.com/unibuc.ro/videos/1265684523810570

(C) 2020-2030 Gigel Militaru, All rights reserved

examen_21_01_2022_finalDescarcă
Rezumatul CursurilorDescarcă
cum-ma-pregatesc-pentru-examenDescarcă

22 de răspunsuri la „Algebra Anul I, semestrul 1”

  1. gigelmilitaru

    Functia de la primul exercitiu rezolvat se numeste „Cantor pairing function”: https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function#Cantor_pairing_function

    Referitor la constructia „grupului de fractii” al unui semigrup comutativ cu simplificare vezi: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.hmj/1206139104

    Toata istoria a scufundarii unui semigrup necomutativ intr-un monoid e aici: https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-014-0138-4

    Pentru alte detalii vezi si https://en.wikipedia.org/wiki/Semigroup#Group_of_fractions

  2. gigelmilitaru

    Bibliografie la problema open (numarul relatiilor de ordine pe o multime finita):
    Intrebare deschisa: este problema Birkhoff de clasificare a poseturilor finite wild?

    1) G. Birkhoff – Lattice Theory (aici a fost introdusa problema, pg. 4 clasificarea multimilor ordonate finite) http://math.chapman.edu/~jipsen/summerschool/Birkhoff%201948%20Lattice%20Theory%20Revised%20Edition.pdf

    2) https://www.ams.org/journals/tran/1975-205-00/S0002-9947-1975-0369090-9/S0002-9947-1975-0369090-9.pdf

    3) https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0095895672900640

    4) https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Pfeiffer/pfeiffer6.pdf

  3. gigelmilitaru

    Daca grupurile de permutari a doua multimi sunt izomorfe, atunci multimile sunt in bijectie – pentru demonstratie (de fapt mai multe) vezi https://mathoverflow.net/questions/12943/can-the-symmetric-groups-on-sets-of-different-cardinalities-be-isomorphic

  4. gigelmilitaru

    Rezumatul teoriei la capitolul Multimi si functii. Trebuie sa retinem si sa asimilam corect urmatoarele:

    Sa stim sa NEGAM corect o propozitie matematica. Atentie mare la semnele: exista, oricare, si/sau, etc.

    Operatii cu multimi (reuniune, intersectie, etc.)

    Definitiile corecte si teoremele de caracterizare ale functiilor injective, surjective, bijective. Trebuie sa stim sa calculam o retracta sau o sectiune a unei functii injective (respectiv, surjective), imaginea sau preimaginea unei multimi printr-o functie.

    Produsul direct de multimi si axioma alegerii

    Multimi numarabile si teoremele lui Cantor

    Relatii de ordine si Lema lui Zorn

    Relatii de echivalenta, clase de echivalenta, multime factor. Sa stim bine definitiile si sa tesam ca o relatie este sau nu de echivalenta si sa descriem clasele de echivalenta.

    Sisteme de reprezentati si proprietatea de universalitate a multimii factor (PUMF). Trebuie sa stim sa descriem un sistem de reprezentati si sa ”calculam” multimi factor folosind PUMF.

  5. gigelmilitaru

    O carte excelenta dedicata axiomei alegerii (si implicatiilor ei in matematica), publicata in 2006 de cea mai selecta colectie de monografii matematice (Springer LNM), o gasiti (free acces) la link. Iata una din curiozitatile ei, formulata ca o problema elementara: Aratati ca exista o submultime a planului care intersecteaza orice drepta a planului in exact doua puncte. https://epdf.tips/axiom-of-choice-lecture-notes-in-mathematics.html

  6. gigelmilitaru

    Asociativitatea!

    1) Sa incep, pentru incalzire, cu urmatoarea problema (deloc usoara): Fie A o multime cu n elemente si m: A x A –> A o lege de compozitie (prefer sa o numesc multiplicare/inmultire). Ce e mai probabil: 1) m sa fie asociativa 2) m sa nu fie asociativa? Legat de problema asta ar fi interesant de calculat limita la infinit dintre raportul numarului legilor de compozitie supra numarul legilor asociative. Daca e infinit, asa cum banuiesc, atunci tragem concluzia evidenta.
    Conditia de asociativitate este intuitiva si ”naturala” ca asa este adunarea, inmultirea numerelor uzuale, compunerea functiilor, etc. Ea e conditia cheie pentru a defini conceptul de grup sau obiecte ”like groups” (inele, etc.) Dar conditia de asociativitate nu e singura care se poate impune. La primul link, de exemplu, aveti conceptul de quasigroup si cel de loop in care lipseste total asociativitatea. Mai mult, daca limita aia de mai sus e infinita, inseamna ca ascunse in intuneric traiesc o gramada de alte inmultiri care pot verifica alte conditii. O multiplicare (i.e. lege de compozitie) poate sa indeplinesca si alte axiome, ce pot parea foarte bizare la prima vedere, dar care pot fi la fel de spectaculoase (unele chiar sunt: cum e coditia Jacobi pentru algebre Lie). In fapt, algebra moderna are doua mari parti: 1) Algebra asociativa (cu doua mari subdomenii: algebra necomutativa si algebra comutativa – fiecare cu numeroase subdomenii) si 2) Algebra neasociativa – in care misuna o jungla de obiecte matematice (algebre neasociative), cele mai populare dintre ele fiind algebrele Lie, Jordan, Poisson sau toate tipurile de algebre ce apar din genetics algebras.

    2) Problema de clasificare. Fie A o multime cu n elemente. Atunci:
    a) cite legi de compozitie asociative se pot da pe A?
    b) cite dintre ele sunt neizomorfe (ca semigrupuri)? I.e. clasificarea pana la un izomorfism a semigrupurilor de ordin n.

    Nici una din probleme NU are solutie in acest moment. Sunt date formule asimptotice, sau programe pe net de calcul concret pentru n (mic) dat, dar atit. Link-uri mai jos.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup?fbclid=IwAR1nrWGjkp9E5EtAZRYohV0ILtXgmehNA3R_sSkRFb8W87j8u941887cO0I#Loops

    https://www.jstor.org/stable/2041879?origin=crossref&seq=1&fbclid=IwAR2Cu_78z_z0UrzLVB2vgJhhxaGjHXY7YBcsC_ca2-yn0u4BSQMtRgRdZWc#page_scan_tab_contents

    https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v19i2p51/pdf?fbclid=IwAR2kE0v4pf2v2ODdNOPJBV8fYt0WV7rXX41xG6XsJqfapowHzPoY-uvRHNM

    https://mathoverflow.net/questions/110211/how-many-binary-operations-are-associative?_gl=1*1gcnezw*_ga*MTM1Nzc5NzcxMS4xNjY3NjI2NTg3*_ga_S812YQPLT2*MTY2NzYyNjU4Ni4xLjEuMTY2NzYyNjc4OS4wLjAuMA&fbclid=IwAR2O8nQKV5AJ992k90uCjS9wtQfHl1cLf8VFoRACy5EC19qqR65LN4phzD8

    https://math.stackexchange.com/questions/105438/how-many-associative-binary-operations-there-are-on-a-finite-set?fbclid=IwAR1IfZecK-1uflWEqs46vQ34MjiHm-iLbSVf47J4rz165gX0jXPjRWE4odU

    http://oeis.org/A023814?fbclid=IwAR3BMrL1WkmwOHMJxy6RSmsdzn1SdEvAK_INDh6-1ZCsHbBVZEVQ2qKBNyU

  7. gigelmilitaru

    Rezumatul teoriei la capitolul Legi de compozitie & Grupuri. Trebuie sa retinem si sa asimilam corect urmatoarele:

    – lege asociativa, element neutru, conceptele de semigrup, monoid; Legea asociativitatii generalizate; reguli de calcul intr-un monoid si morfisme de monoizi; elemente inversabile in monoizi;

    – notiune de grup, morfism de grupuri, subgrupuri. exemple de grupuri; proprietati morfisme vs subgrupuri. Teorema de corespondenta pt. subgrupuri; teorema Cayley; subgrupul generat de o submultime; relatii de echivalenta pe un grup, indicele unui subgrup si teorema Lagrange.
    – subgrupuri normale, grup factor; proprietatea de universalitate; teorema fundamentala de izomorfism si exemple concrete; ordinul unui element, teorema lui Euler si mica teorema Fermat; teorema de structura a grupurilor ciclice si lema chineza a resturilor;
    – grupuri de permutari: inversiune, semn si morfismul signatura; cicli si proprietati de baza; descompunerea unei permutari din produs de cicli si aplicatii.

  8. gigelmilitaru

    Rezumatul teoriei la capitolul Inele si Corpuri. Trebuie sa retinem si sa asimilam corect urmatoarele:

    – conceput de inel, exemple de inele (inelul de matrici, etc), divizori ai lui zero, elemente inversabile, nilpotente, idempotente. Ideal sting/drept/bilateral; Operatii cu ideale si ideale generate de o submultime; Subinele si morfisme de inele (proprietati si teorema de corespondenta pentru ideale). produse de inele

    – Inele factor, proprietatea de universalitate, teorema fundamentala de izomorfism pentru inele. Lema chineza a resturilor pentru inele si aplicatii.

    – conceptul de corp, subcorp, morfism de corpuri. Exemple de corpuri si constructia corpului numerelor complexe. Corpuri prime si structura lor. Caracteristica unui corp.
    Corpul de fractii al unui domeniul de integritate. Corpul cuaternionilor.

  9. gigelmilitaru

    Pentru studentii seriei 10, 2023-2024.

    Rezumat curs 1 & Peano. Ce trebuie sa retinem dupa primul curs? (1) Sa stim sa NEGAM corect o propozitie (din viata cotidiana si apoi din matematica): aici aveti foarte mult de lucrat, v-am propus sa lasati un joc, intre voi, pe grupurile voastre de WhatsApp, cu propozitii si negari ale lor; Daca nu stim sa negam corect o fraza ne vom chinui teribil in studentie; (2) Matematica e altceva de ce credeam (sau am fost invatati) ca este: matematica nu inseamna doar sa stiu sa calculez mecanic ”1+1=2”, o integrala, o limita, un volum, sa fac graficul unei functii, etc. ci sa ma intreb de ce “1+1=2 si nu este 9” si mai ales ce este si ce se afla in spatele acestor afirmatii; (3) Ce sunt de fapt numerele naturale, dincolo de intuitia noastra? Aici a fost inspiratia geniala a lui Peano cu acea definitie de ieri (eu am dat definitia moderna a conceptului – folosind multimi si functii – initial Peano le-a enuntat ca 5 axiome – le gasiti la link). Din N vom construi riguros la curs, matematic, toate celelate multimi de numere: Z, Q, R, C si H. Data viitoare, in cursul 2 vom incepe multimi si functii unde vom da peste o ”ciudatenie” si mai mare: conceptul fundamental al matematicii pe care NU il putem defini. Vedeti, noi in facultate, de ocupam de ceva ce nu (prea) stim ce este 🙂

    https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Peano/?fbclid=IwAR19GBQ2kO598DZN1Akrlf4AUUjQP2POruawB25uSvnhf97zNin_NFijx9E

  10. gigelmilitaru

    Rezumat curs 2 + o problema pentru studenti. Ce trebuie sa retinem dupa cursul 2? (0) Tulburatoarea si unica multime vida; (1) sa stim definitia riguroasa si corecta (atentie MARE la semnele exista, oricare, sau conjuctiile ”si/sau” – studentii le incurca adesea) a operatiilor elementare cu multumi: reuniune, intersectie, diferenta, (atentia la) multimea partilor unei multimi; (2) definitia riguroasa a conceptul de pereche ordonata si produs direct de multimi; (3) definitia riguroasa (si corecta) a conceptului de functie – imaginea unei submultimi printr-o functie, preimagine sau fibra unei submultimi, imaginea unei functii, functia identica; (4) compunearea functiilor si asociativitatea compunerii functiilor; (5) definitia conceptelor de functie injectiva, surjectiva si bijectiva (atentie MARE la semnele care apar in definitii sa NU le incurcati, asa cum am constatat de nenumarate ori) si exemple. (5) sa stim sa NEGAM ca o functie nu e injectiva/surjectiva/bijectiva. (5) sa stim sa aratam daca o functie este sau nu este injectiva/surjectiva (atentie mare la domeniul de definitie si codomeniul functiei).

    Propozitie: „Orice doua pisici (diferite) din Cartierul Militari au greutatati diferite”. Probleme: (1) negati aceasta propozitie; (2) Are legatura propozitia asta cu conceptele definite la cursul de azi? Daca este vreo legatura detaliati cat puteti de mult.

  11. gigelmilitaru

    Rezumat curs 3. Ce trebuie sa retinem dupa cursul 3? (1) Teorema de caracterizare a functiilor injective (sa stim ce inseamna rectracta si monomorfism). (2) Teorema de caracterizare a functiilor surjective (sa stim ce inseamna sectiune si epimorfism). (3) Sa stim sa calculam o retracta/sectiune a unei functii injective/surjective. (4) conceptul de functie inversabila (izomorfism de multimi) si teorema lor de caracterizare. Sa stim sa calculam inversa unei functii. (5) Definitia produsului direct de multimi si axioma Alegerii. Proictiile canonice ale produsului direct. (6) Proprietatea de universalitate a produsului direct de multimi.

  12. gigelmilitaru

    Rezumat curs 4. Ce trebuie sa retinem dupa cursul 4? (1) Conceptul de multimi cardinal echivalente (izomorfe); multime numarabila; sa stim sa aratam ca o multime este (ne)numarabila (vezi comentariul 1). (2)Teoremele lui Cantor: R nu e numarabila si |A| < | P(A) |. (3) Cele 4 definitii referitoare la relatii binare; Definitia relatiei de ordine, relatii de echivalenta – sa stim sa aratam daca o relatie binara este de ordine sau de echivalenta; (4) Toate definitiile legate de multimi ordonate si Lema lui Zorn. (5) Relatii de echivalenta: exemple, congruenta modulo n si relatia de echivalenta indusa de o functie. (6) Clasa de echivalanta a unui element si proprietatile lor. Partitiile ale unei multimi.

  13. gigelmilitaru

    Despre teorema Zermelo (echivalenta ei cu Axioma Alegerii si Lema lui Zorn) – puteti gasi informatii si la primul link – se dau exemple de relatii de BINE ordonata pe Z. Ea e folosita mai tarziu in a descrie subgruprile lui Z. Daca axiomele ZF pica, nici pe astea nu le mai stim 🙂 https://math.stackexchange.com/questions/2422175/well-ordering-on-the-integers-every-subset-of-mathbbz-has-a-least-element

    Vezi si https://math.stackexchange.com/questions/2621659/role-of-well-ordering-principle-in-proving-every-subgroup-of-mathbbz-is-of?rq=1

  14. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 5. Ce trebuie sa retinem dupa cursul 5? (1) Conceptul de sistem de reprezentanti si sa stim sa determinam un sistem de reprezentanti; (2) Constructia lui Z si Q din N. (3) Proprietatea de universalitate a multimii factor (PUMF); (4) Descrierea multimilor factor cu ajutorul PUMF sau cu un sistem de reprezentati. (5) Conceptele de: lege de compozitie, magma, quasigrup, semigrup si monoid.

  15. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 6! Ce trebuie sa retinem dupa cursul 6? (1) Legea asociativitatii generalizate. (2) Morfisme de semigrupuri si monoizi. Izomorfism de monoizi. (3) Reguli de calcul intr-un monoid. (4) Monoidul liber generat de o multime. (5) Elemente inversabile intr-un monoid: definitie, exemple si proprietati (produsul de elemente inversabile e inversabil) si monoidul opus. (6) Definitia conceptului de grup si primele exemple.

  16. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 7! Ce trebuie sa retinem dupa cursul 7? (1) Conceptul de morfism/izomorfism de grupuri si exemple; grupul de automorfisme. (2) Proprietatile morfismelor de grupuri; (3) Transfer de structura de grup printr-o functie bijectiva; (4) grupuri de permutari pe o multime si exemple de grupuri care provin din geometrie; (5) Conceptul de subgrup, subgrupurile lui (Z, +); (6) Morfisme vs subgrupuri, nucleul unui subgrup; (7) Teorema Cayley.

  17. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 8! Ce trebuie sa retinem dupa cursul 8? (1) Teorema de corespondenta pentru subgrupuri. (2) Subgrupul generat de o multime. (3) Produs direct de grupuri. (4) Relatii de echivalenta pe un grup si indicele unui subgrup. (5) Teorema lui Lagrange. (6) Grupuri de ordin p = numar ciclic.

  18. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 9! Ce trebuie sa retinem dupa cursul 9? (1) Conceptul de subgrup normal: definitii echivalente si exemple. (2) Grupul factor: constructie. (3) Proprietatea de universalitate a grupului factor. (4) Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri. (5) Exemple.

  19. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 10+11! Ce trebuie sa retinem? (1) Teorema I si II de izomorfism pentru grupuri. (2) Ordinul unui element: definitie si proprietati. (3) Teorema lui Euler si teorema (mica) Fermat. (4) Teorema de structura a grupurilor ciclice. (5) Lema chineza a resturilor. (6) Semnul unei permutari. (7) Orbite si conceptul de ciclu. Proprietatile ciclilor. ( 8 ) Descompunerea unei permutari in produs de cicli disjuncti si aplicatii.

  20. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 12! Ce trebuie sa retinem? (1) Definitia conceptului de inel si exemple de inele; (2) inelul de matrici patratice peste un inel. (3) Diviziori ai lui zero si elemente inversabile intr-un inel. (4) Subinele si ideale.

  21. gigelmilitaru

    Seria 10: Rezumat curs 13! Ce trebuie sa retinem? (1) Idealul generat de o multime. (2) Sume si produse de ideale. (3) Morfisme de inele, izomorfisme si legatura cu subinele si ideale. (4) Teorema de corespondenta pentru ideale. (5) Caracteristica unui inel. (6) Produse directe de inele. (6) Inele factor, constructie. (7) Proprietatatea de universalitate a inelelor factor si teorema fundamentala de izomorfism pentru inele.

  22. gigelmilitaru

    Rezumat curs 14! Ce trebuie sa retinem? (1) Lema chineza a resturilor. (2) Corp, subcorp, morfism de corpuri. (3) Constructia corpului numerelor complexe. (4) Corpuri prime: teorema de structura si caracteristica unui corp. (5) Corpul de fractii al unui domeniu de integritate.

Lasă un comentariu

Get updates

From art exploration to the latest archeological findings, all here in our weekly newsletter.

Abonează-te