Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Curs algebra seriile 21-22

Programa de algebra pentru intreg anul universitar al cursului de algebra de la anul II este urmatoarea: Proprietăţi aritmetice ale inelelor: Divizibilitate in inele. Inele factoriale, inele principale, inele euclidiene. Ideale prime şi ideale maximale. Factorialitatea inelelor de polinoame (teorema Gauss). Criterii de ireductibilitate pentru polinoame. Complemente de teoria grupurilor: Ecuaţia claselor de elemente conjugate. Grupuri rezolubile. Structura grupurilor abeliene finit generate. Corpuri şi extinderi de corpuri : Construcţii de corpuri. Corpuri prime. Adjuncţie. Extinderi algebrice, extinderi finite, extinderi de tip finit. Corpul de descompunere al unui polinom. Polinoame ciclotomice. Corpuri algebric inchise. Teorema fundamentală a algebrei. Inchiderea algebrică a unui corp (existenţa şi unicitatea). Corpuri finite : Teorema lui Wedderburn. Existenţa şi unicitatea corpurilor finite. Polinoame ireductibile peste corpuri finite. Teorie Galois: Extinderi normale, extinderi separabile. Teorema elementului primitiv. Teorema fundamentala a teoriei lui Galois. Aplicaţii.

Alte detalii despre curs si seminar le-am dat in sala de curs: nota finala e formata din nota la verificare finala (80% pondere) si nota de la seminar (20% pondere). Examenele sunt scrise, doar probleme cu cursurile pe masa (doar cu cursurile nu si seminarile). In primul semestru voi acoperi jumatate din programa de mai sus. Asa cum predau dintodeauna nu voi urmari o carte anume la bibliografie: imi fac propriul curs urmarind programa si adaptind-o din mers la nivelul audientei. Din cartile de algebra care cuprind programa de mai sus recomand monografiile dupa care se invata in prezent in marea majoritate a universitatilor din SUA. Anume:

1. D.S. Dummit, R.M. Foote, Abstract algebra, third edition.

2. J. J. Rotman, Advaced modern algebra, second edition.

Octombrie 7, 2011 Posted by | Uncategorized | Lasă un comentariu

Succes in noul an universitar!

Update – stire universitara de interes public: Prima zi a acestui an universitar a adus o veste trista pentru matematica din UB. 😦 In ierahizarea facuta public de ministrul educatiei http://www.edu.ro/index.php/pressrel/16185 si disponibila la http://chestionar.uefiscdi.ro/docs/programe_de_studii.pdf  matematica din UB este doar pe locul 3 din tara dintre toate facultatile de matematica! Ierarhizarea, care se va face anual conform legii, a fost girata de EUA din Brussel dupa standarde europene. Ea va fi act oficial si va fi publicat in Monitorul Oficial. In 1984 cind am dat admitere am ales fara sa clipesc UB pentru ca stiam/credeam ca este cea mai buna din tara. Acum ca profesor al FMI, la prima ierahizare facuta de statul roman aflu, fara sa fiu surprins, ca suntem pe locul 3. De ani de zile imi era evident spre ce ne indreptam. Mai mult, in clasamentul Ad-Astra pentru anul 2010 in ceea ce priveste strict calitatea cercetarii stiitifice, matematica din UB e abia pe locul 4 dupa Cuza, UBB si Timisoara  http://www.ad-astra.ro/universitati/universities_domains.php?domain_id=10&year_indexed=2010 Coborind inca 2 locuri – lucru extrem de probabil avind in vedere competita acerba si scorurile strinse (mai mult: Timisoara si UBB (*) sunt inaintea noastra la cercetare conform rapoartelor precise Ad Astra pentru 2010) exista un risc major ca FMI sa nu mai poata acorda doctorate in matematica sau sa nu mai avem mastere finantate de la buget de stat! 😦 Responsabilitatea integrala a acestui esec stiti fiecare cui apartine. Felicitari colegilor de la Informatica pentru locul 1 din tara pe care il ocupa asa cum sunt marea majoritate a domeniilor de studii din UB. http://media.unibuc.ro/ub-live/clasificarea-programelor-de-studiu-ale-universitatii-din-bucuresti Departamentul de Tehnologia Informatiei preluat in primavara de FMI, ca o ‘decizie strategica‘, este cel mai slab clasat dintre toate programele UB-ului fiind in categoria D, sub programe similare de la Galati, Suceava, Sibiu, etc 😦  Nota (*): Mai mult, conducerea UBB a impus ca incepind din toamna asta fiecare cadrul didactic, cercetator stiintific sau doctorand al UBB-Cluj sa publice obligatoriu un articol ISI pe an http://www.adevarul.ro/locale/cluj-napoca/Cele_22_de_porunci_ale_lui_Marga_pentru_noul_an_universitar_0_565143805.html     

––––––––––––––––––––––

La inceputul noului an universitar urez din toata inima mult succes si bafta studentilor si fostilor studenti indiferent pe unde sunt acum. Am redeschis blogul pentru o mai buna interactiune cu acestia dar si ca instrument care sa ii ajute pe actualii studenti. Toate temele de discutie de aici se vor incadra strict in ce scrie in coltul din dreapta al blogului: didactica/cercetare sau stiri de interes academic general. Anul acesta voi preda cursul de algebra in sem I la seriile 21-22 si seminarul la grupa 221 si cursul si seminarul de algebre Hopf la grupa 501. Am sa revin cu detalii pentru acesti studenti.

Anul acesta va fi unul extrem de interesant din doua motive: este primul an in care suntem in intregime sub incidenta noii Legi a Educatiei Nationale cu toate actele subsecvente ei (http://www.edu.ro/index.php/articles/c965/): rezultatele la BAC, pensionarea celor care au 65 de ani, clasificarea univeristatilor realizata la inceputul lunii septembrie, anuntul rezultatelor primei competitii de granturi in care evaluarea a fost internationala ( http://uefiscdi.gov.ro/articole/2666/Rezultate-preliminare.html – ma asteapta alti 3 ani de birocratie pentru derularea grantului cistigat) , concursuri transparente cu dosarele de candidatura publice (http://unibuc.ro/n/organizare/dirresumane/post-vaca/desf-conc-orga-in-facu/). Al doilea motiv este ca inca din debutul anului incep alegeri universitare la toate nivelele si asta produce ceva pasiune 🙂 pentru doritori.

Toate cele bune si inca odata multa bafta!

Octombrie 1, 2011 Posted by | Uncategorized | 2 comentarii

Informatii pentru cursul de algebra seria 13

Programa cursului este aici http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2007/diverse/programe_an1_Informatica.pdf In semestru II vom incepe de unde ati terminat semestru I (grupuri) si vom preda urmatoarele capitole mari: Inele; Polinoame in mai multe nedeterminate; Teorema impartirii cu rest in K[X]; spatii vectoriale; aplicatii multiliniare alternate; algebra endomorfismelor unui spatiu vectorial. Infernal de multa materie ramasa in doar 2 ore pe saptamina.

Bibliografie: T. Dumitrescu, Algebra, Editura Univ. Bucuresti 2006 — atit pentru partea teoretica cit si pentru probleme.

Reguli: examenul final va fi scris si va consta doar din probleme. Fiecare student va avea o nota la seminar: ea va avea o pondere de 20% in nota finala.

Februarie 16, 2011 Posted by | Uncategorized | Lasă un comentariu

Nicolae Popescu. Un mare OM

Scriu cu mare intirziere acest post pentru ca mi-a fost greu sa o fac vreme de peste 6 saptamini. Nu e usor sa o fac nici acum si nu stiu daca am cuvintele potrivite. Nici daca sunt eu cel in masura sa vorbesc… si titlul imi e greu sa il aleg. As fi ales unul simplu, asa cum am intuit ca este un om special si deosebit dar un „matematician inascut si nu unul facut” (sa ii folosesc una din expresiile domniei sale) : Nae din Strehaia. Studentii de azi care nu au auzit de dinsul pot citi mai multe despre domnia sa aici  http://en.wikipedia.org/wiki/Nicolae_Popescu

In vara  un e-mail soc din SUA al unui fost student si prieten ma intreba scurt: „e adevarat ca a murit Nae?”…  Asa am aflat de plecarea de linga noi a unuia din cei mai mari matematicieni romani din secolul trecut. Nae! Asa era cunoscut… Dincolo de valoarea matematicianului Nicolae Popescu (am scris despre domnia sa si despre unul din marile rezultate romanesti ale matematicii secolului trecut si pe blog acum 2 ani https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/11/03/un-rezultatcelebru-teorema-popescu-gabriel-tema-de-referat-serios/ ) Nae a fost si va ramine in memorie ca un om special. Cum rar mai gasesti. A creat si a lasat urme adinci in doua scoli in Romania in domenii total diferite: teoria categoriilor si teoria numerelor. Spre deosebire de multi Nae Popescu nu a emigrat: a ramas in tara. Nae din Strehaia!

Nu am fost un apropiat al domnului Nicolae Popescu dar intilnirea cu domnia sa a fost un moment extrem de important pentru mine. Crucial. Era in 1985. Venisem, eram doar fiul unor tarani din Corabia, student in anul I la Matematica. La sfirsitul lui noiembrie 1985 (era intr-o zi mohorita de vineri – stiu si acum perfect ziua) am fost invitat de doamna profesoara Liliana Popescu (cu dansa faceam seminarul de informatica si probabil ii placuse ca la seminar prezentasem eu nu stiu ce teorema a lui Kaplanski) la dinsii acasa pentru a discuta cu domnul Popescu. Intlnirea a fost socanta pentru mine: aveam in fata un mare matematician dar care se comporta si vorbea ca un om direct si simplu, fara aere, fara ifose, fara nimic din superioritatea, artificialitatea si pretiozitatea majoritatii „profesorilor universitari”. Stiu si acum si voi retine pentru totdeauna tot ce mi-a spus atunci despre cum trebuie facuta matematica. Eram doar un pusti de 19 ani, cu cosuri pe fata. Am incercat sa fac asa cum mi-a zis (nu cred ca am si reusit) desi am declinat oferta de a „face numere”. Poate ca refuzul meu i-a placut! Dar ceea ce stiu si de care sunt foarte sigur era formidabila intelegere oamenilor si impactul pe care il provoca oricarui tinar care intra in contact cu domnia sa. Din acest motiv „numeristii lui Nae” (sunt cu zecile si zecile imprastiati peste tot in lume) ii vor ramine pe veci extrem de devotati. Pentru ca dincolo de matematician este OMUL exceptional. Un om simplu: Nae din Strehaia.

Ulterior m-am intilnit des dupa 1990 cu domnul Popescu: venea in fiecare joi, la etajul II, unde conducea de peste 20 de ani „seminarul de numere al lui Nae” asa cum il numeam noi ca studenti. De fiecare data cind ne intilneam in pauze (probabil ca isi aducea aminte de discutia noastra din 1985 si sfaturile pe care mi le-a dat atunci) imi zicea scurt, direct si prieteneste: „nu ti-am mai zis mha sa te lasi de fumat! Fumul de tigara face rau pentru creierul unui matematician care are nevoie de mult oxigen”.

Nae nu a murit chiar daca s-a retras dincolo pentru ca in urma dinsului ramane o constructie durabila pe care a facut-o vreme de zeci de ani si care nu va muri niciodata. Nu doar prin rezultatele de top pe care le-a avut in matematica ci mai ales zecile de tineri care au fost formati, slefuiti si finisati de domnia sa. Fie direct („numeristii lui Nae”), fie prin sfaturile pe care acesta le da cu multa dragoste si impact tinerilor.

Dumnezeu sa il odihneasca in Pace!

Septembrie 16, 2010 Posted by | Uncategorized | 7 comentarii

Anul I, algebra seria 13: teoria pentru examen

Subiectele detaliate pentru partea de teorie pentru semestrul II sunt mai jos si vor fi definitivate maine la curs. La examen vor fi patru subiecte: doua de teorie si doua probleme. Unul de teorie fara demostratii (definitii, exemple, proprietati) si altul va fi o teorema cu demostatie. O problema va fi din prima parte a materiei (inele) si alta din partea a doua (algebra liniara si forma Jordan). Cu bold sunt teoremele la care cer si demostratie. La celelalte NU cer demostratie ci sa stiti foarte bine si riguros enuntul si mai ales sa le aplicati in probleme.

Lista subiecte detaliate:

1) Inele, subinele, ideale, morfisme de inele, divizori ai lui zero, elemente inversabile. Definitii, exemple, proprietati. 2) Inel factor. Teorema fundamentala de izomorfism pentru inele. 3) Corpuri, subcorpuri, corpuri prime. Caracteristica unui corp. 4) Corpul de fractii al unui domeniu de integritate. 5) Inele de polinoame. Proprietatea de universalitate. 6)Inele de polinoame: radacini, proprietati. 7) Teorema de impartire cu rest a polinoamelor. 8 ) Polinoame simetrice: definitie, inelul polinoamelor simetrice. Polinoame simetrice fundamentale. 9) Teorema fundamentala a polinoamelor simetrice (enunt, fara demonstratie). 10) Spatii vectoriale: definitie, exemple, subspatii, aplicatii k-liniare. 11) Dualul si bidualul unui k-spatiu vectorial. 12) Spatii vectoriale factor. Teorema fundamentala de izomorfism. 13) Sistem de generatori, multimie liniar independeta, baze: definitie, proprietati, exemple. 14) Teorema bazei (enunt, fara demostratie). Prelungirea prin liniaritate. 15) Teorema schimbului (enunt). 16) Teorema fundamentala a dimensiunii. 17) Teorema Grassmann. 18) Matrici de trecere de la o baza la alta: definitie si proprietati. 19) Dualul unui k -spatiu si baze duale. 20) Aplicatii multiliniare alternate (AMA): teorema fundamentala a AMA (enunt, fara demostratie). 21) Determinanti: definitie, existenta, unicitate.  22) Inversa unui matrici. 23) Teorema Cramer 24) Rangul unei matrici: teorema Kronecker. 25) Teorema Kronecker-Capelli 26) Sisteme omogene.  27) Matricea atasata unui endomorfism. 28) Matrici asemenea: asemanarea matricilor atasate unui endomorfism.  29) Teorema Hamilton – Cayley (enunt). 30) Matrici echivalente si relatia cu asemanarea via matricea caracteristica (enunt). 31) Transformari elementare. 32) Forma diagonal canonica a unei matrici. 30) Factorii invarianti ai unei matrici: defintie si proprietati. 33) Matricea companion a unui polinom: definitie si proprietati. 34) Celule Jordan. Matrice Jordan. Teorema Jordan (fara demostratie). 35) Polinomul minimal al unei matrici.

Mai 17, 2010 Posted by | Uncategorized | 11 comentarii

Alte articole recent acceptate ale studentilor

Lasasem pe blog in noiembrie 2008 https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/11/05/categorii-curs-6/ la cursul de categorii o problema despre centrul clasic al unei categorii. Acolo e o solutie impecabila data de Alex Chirvasitu (care merita citita pentru cei ce nu au facut-o inca) in care arata ca centrul categoriei grupurilor finite e trivial si tot acolo e o solutie faina a lui Dragos Fratila care calcula centrul categoriei grupurilor abeliene. Alex a retinut problema si recent a scris un articol in care abordeaza problema calculind centrul categoriei algebrelor Hopf. Problema deloc banala si rezultatul lui este super frumos: Centrul categoriei algebrelor Hopf este izomorf cu monoidul numerelor naturale! Mai rar un rezultat asa frumos despre o categorie complicata in esenta. Foarte interesant e folosirea algebrelor Hopf free generate de o coalgebra pe care le-a expus Dragos acum fix un an la seminarul stiintific. Articolul lui Alex este la http://xxx.lanl.gov/PS_cache/arxiv/pdf/1002/1002.3198v1.pdf si a fost acceptat recent spre publicare in Journal of Pure and Applied Algebra. Felicitari Alex!

Problema: Calculati centrul categoriei algebrelor Hopf finit dimensionale!

Pe blog in primavara lui 2009 si la seminarul stiintific si cursul de la master lasasem problema existentei produselor pentru categoria de coalgebre, bialgebre, algebre Hopf –  in general  a limitelor – un lucru care in mod inexplicabil si misterios a scapat pana acum vreme de peste 40 de ani tuturor hopfistilor (*) . Ana Agore a rezolvat problema anul trecut si articolul ei  http://arxiv.org/abs/1003.0318 a fost acceptat recent spre publicare in Proc. Amer. Math. Soc. Felicitari atit pentru articol (sa publici intr-o revista generala de matematica si prestigioasa ca cele ale AMS e ceva deosebit) cit si pentru gestul tau remarcabil de a dedica articolul regretatului profesor Stere Ianus.

(*) Articolul Anei, desi l-a postat pe arXiv doar luna trecuta ( eu am rugat-o sa nu il posteze in septembrie 2009 cind l-a trimis la Proc AMS din motive strategice – articolul are potential de dezvoltare) are deja o citare http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0905/0905.2621v5.pdf Pot paria ca articolul asta cu produsele de coalgebre si algebre Hopf va stringe multe citari pentru ca are ceva ce a scapat multora vreme de decenii.

Ambele reviste au factorul de impact in jur de 0,6 fiind in prima treime a revistelor din matematica cotate ISI.

V-am cunoscut ca studenti (alaturi de Dragos Fratila, Octavian Babus, Costel Bontea, George Ionita, Corina Ciobotaru, etc) la un curs optional pe care vi l-am predat cind erati studenti in anul III (acum 3 ani si ceva). A fost si ultimul curs optional pe care am putut sa il propun studentilor in FMI. De atunci am fost executat anual de gasca… Intre timp ati terminat masterul in februarie. Ma bucur ca de atunci ati reusit sa publicati sau sa aveti acceptate spre publicare in reviste cotate ISI 4 articole ISI (Alex) si 5 articole (Ana), 1 articol (Dragos). De atunci, de cind erati voi studenti in anul III, nu am mai fost lasat nici macar sa propun un curs optional in facultate …. Si anul asta s-a decis cine are dreptul sa propuna cursuri optionale studentilor si evident ca am fost executat … eu nu am voie sa propun…  Le propusesm exact titlul si programa pe care v-am predat-o voua in anul III „Introducere in Algebra moderna” si nu a fost acceptat de Consiliul sa fie propus studentilor. Invidie, ura, razbunare feroce si imbecila …

Aprilie 26, 2010 Posted by | Uncategorized | 8 comentarii

Algebra anul I, seria 13. Detalii despre curs

Informatii pentru studentii seriei 13 (cursul de algebra):

In semestrul II voi preda cursul de algebra de la seria 13 (Informatica) si seminarul de la grupa 131. Programa cursului este aici http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2007/diverse/programe_an1_Informatica.pdf

Regula la curs: nota finala pe care o veti obtine are doua componente conform propunerii studentilor din Consiliul facultatii: http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2009/anunturi/Propuneri_studenti_evaluare.pdf Nota din examenul scris din sesiune (pondere 70%) si nota din seminar si teme (pondere totala 30% ). Fiecare dintre dumnevoastra veti primi o nota in seminar acordata in functie de modul in care participati la seminar (rezolvari de probleme, de teme, participare activa la seminar  si cel putin o lucrare scrisa etc). Veti primi teme (probleme propuse pentru seminar) atit la curs cit si la seminar.

Programa cursului o gasiti la link-ul indicat mai sus. In semestru II vom incepe de unde ati terminat semestru I (am inteles ca la grupuri) si vom preda urmatoarele capitole mari: Inele; Polinoame in mai multe nedeterminate; Teorema impartirii cu rest in K[X]; spatii vectoriale; aplicatii multiliniare alternate; algebra endomorfismelor unui spatiu vectorial. Materia ramasa de predat pentru semestru II este extrem de multa conform programei 😦  Eu nu stiu cind si cum pot preda toata aceasta materie in 2 ore pe saptamina si ce naiba de probleme sa apuc sa fac intr-o ora pe saptamina!!

Bibliografie: T. Dumitrescu, Algebra, Editura Univ. Bucuresti 2006 – atit pentru partea teoretica cit si pentru probleme.

Impresii dupa primul curs! 🙂 nu am mai predat niciodata la seria de Informatica. M-a surprins prezenta extrem de numeroasa la curs (cum nu am mai avut-o de prin anii 95 in amfiteatru) –  vad ca sunt si 5 grupe in serie si probabil era si curiozitatea voastra sa vedeti cu ce aratare de profesor v-ati potcovit la cursul de algebra. Inca ma gindesc cum e mai bine sa predau: la tabla (adica clasic, cu mana pe creta, cum ii sta bine unui matematician) sau sa fac fisiere .pdf si sa le pun pe calculator si sa citesc dupa ele ca … Suca. 🙂 Sondajul pe care vi l-am dat pe tema asta are ca raspuns cam 50 – 50. Cu fisierele asta nu prea imi place ca se pierde caracterul interactiv al cursului si dialogul prof-student.

Tema 1 (termen limita de rezolvare: 2 saptamini)

1) Aratati ca pe grupul cicilc (Z_n, +) se pot da \phi (n) structuri de inel toate izomorfe cu inelul claselor de resturi modulo n (Z_n, +,  . ).

2) a)  Descrieti pana la un izomorfism toate inelele cu 4 elemente. b) Daca R e inel necomutativ arati ca el are cel putin 8 elemente.

3) Fie A un inel comutativ infinit care nu e corp. Aratati ca A are o infinitate de elemente neinversabile.

Tema 2 (termen limita de rezolvare: 1 aprilie)

Problemele 110, 111, 115, 122, 124, 131, din cartea T. Dumitrescu, Algebra.

Februarie 14, 2010 Posted by | Uncategorized | 9 comentarii

Programul Seminarului Stiintiific Studentesc de Algebra

Programul Seminarului Stiintific Studentesc de Algebra”:  octombrie – decembrie 2009

Seminar 1 : 8.10.2009, ora 14, sala 215, ’’Constructia limitelor din produse si egalizatori’’ – Ana Agore

Seminar 2 : 15.10.2009, ora 14, sala 215, ’’Algebre Hopf punctuate: teoreme de structura I’’ – Ana Agore

Seminar 3 : 22.10.2009, ora 14, sala 215, ’’Algebre Hopf punctuate: teoreme de structura II’’ – Ana Agore

Seminar 4 : 29.10.2009, ora 14, sala 215, ’’Algebre Hopf punctuate: teoreme de structura III’’ – Ana Agore

Seminar 5 : 5.11.2009, ora 14, sala 215, ’’Formula S^{4} si teorema Radford’’– Cristian Popa

Seminar 6 : 12.11.2009, ora 14, sala 215, ’’Biproduse Radford pentru algebre Hopf ’’ – Ana Agore

Seminar 7 : 19.11.2009, ora 14, sala 215, ’’Teorema Lyubashenko’’– Octavian Babus

Seminarul va fi reluat la inceputul lunii februarie 2010 cu urmatoarele teme:

– Probleme pentru categorii monoidale si braided – Gigel Militaru

– Functori reprezentabili in teoria coringurilor – Gigel Militaru

Ianuarie 9, 2010 Posted by | Uncategorized | Lasă un comentariu

Dupa 20 de ani …

Acum 20 de ani, fix la ora asta 20, eram student in anul V (master) si in vacanta la Sibiu. Era ora la care impreuna cu sotia ii faceam baia inainte de culcare lui Andrei care avea 5 luni. A intrat in camera soacra mea si cu vocea gituita de emotie a strigat „A incepuuuut, a incepuuut la Timisoara”. Asculta Europa libera si stiam ce a inceput. Asteptam si speram sa „inceapa”. Studentilor de azi, care aveau atunci citiva ani sau nu erau nascuti le recomand sa audieze ce vorbea Nicolae Ceausescu (agramatul din film) cu celelalte lichele ale statului comunist de la filmul de aici http://www.youtube.com/watch?v=oGQLHYQBTFQ&feature=player_embedded# E o teleconferinta despre cum au pus la cale reprimarea revolutiei tinerilor din Timisoara. Iar un mic film despre represiune e aici http://www.youtube.com/watch?v=fz_XUg8anMo&feature=related

Sa pastram un moment de reculegere pentru tinerii (asa cum sunteti voi azi) care au murit pentru niste idealuri… Idealuri care au ramas si azi din pacate doar idealuri. Romania de azi e condusa tot de ‘ei’ sau de urmasii lor.

Decembrie 17, 2009 Posted by | Uncategorized | Lasă un comentariu

Algebre Hopf, grupuri cuantice anul VI: rezumatul cursurilor

Algebre Hopf: rezumatul cursurilor.

Life after Kaplanski five : din nou despre antipodul unei algebre Hopf. Conjectura 5 a lui Kaplanski si algebre Hopf involutorii. Bijectivitatea antipodului unei algebre Hopf finit dimensionale (demostratie directa, fara teorema de unicitate a integralelor). Teorema Chirvasitu 🙂 : antipodul oricarei algebre Hopf este epimorfism si monomorfism in categoria Hopf. Duale pentru module si comodule: „rigiditatea” categoriilor pentru algebre Hopf involutorii. Aplicatie: teorema Serre pentru algebre Hopf involutorii. Noi constructii de algebre Hopf (1): the twist construction si importanta sa in teoria clasificarii (teorema Drinfel’d, 1989). Izomorfismul intre doua produse twisted. Noi constructii de algebre Hopf (2): deformarea multiplicarii via un cociclul Sweedler (Y. Doi, 1993). Izomorfismul intre doua produse deformate in sensul lui Doi. Aplicatie remarcabila a constructiei: Dublu Drinfel’d ca algebra Hopf deformata via un cociclul Sweedler (teorema Doi-Takeuchi). Probleme de studiu si cercetare. Noi constructii de algebre Hopf (3): produsul bicrossed (double cross product in terminologia Majid) de algebre Hopf: constructie si teorema de caracterizare (problema de factorizare): teoremele Majid. Cazuri speciale de produse bicrossed: produs smash de algebre Hopf si siruri splitate. Descrierea nuclelor in categoria algebrelor Hopf, morfisme normale si teorema Molnar. Dublu Drinfel’d ca produs bicrossed (in toate variantele sale) si dubluri cuantice generalizate asociate unei „dualitati” (paired) in caz infinit dimensional. Dublul Drifel’d al agebrei grupale. Constructia duala: bicrossed coproduct de algebre Hopf. Smash coproduct. Noi constructii de algebre Hopf (4): constructia biprodusului Radford si bosonizarea Majid. Cazuri speciale de biproduse si interpretarea categoricala a teoremei Radford. Algebre, coalgebre si bialgebre in categoria de module Yetter-Drinfel’d. Extinderi splitate de algebre Hopf: teorema Radford.

Grupuri cuantice: rezumatul cursurilor.

Ecuatia cuantica Yang-Baxter (QYBE) si ecuatia braid (BE). Echivalenta dintre ele, forma scalara. Primele exemple de solutii la QYBE: operatorul clasic YB si generalizari ale lui. Solutii la QYBE din algebre si coalgebre (Nuss, Beidar, Fong, Stolin, etc) si legatura cu algebre separabile si Frobenius. Algebre Hopf vs QYBE: algebre Hopf quasitriangulare (resp. braided) si teorema Drinfel’d (resp. Larson Towber). Module Yetter-Drinfel’d vs QYBE: teorema Yetter. Constructii de module cuantice Yetter-Drinfel’d. Obstructii Yetter-Drinfel’d si o noua lema tehnica. Teorema FRT: cele doua variante ale ei. Aplicatii ale teoremei FRT: constructia grupurilor cuantice GL_q (2) si SL_q(2). Clasificarea solutiilor QYBE dupa teorema FRT. Dublu Drinfel’d ca algebra Hopf quasi triangulara si echivalenta reprezentarilor sale cu modulele Yetter-Drinfel’d. Algebre Hopf quasitriangulare: propietati de baza si exemple. Teorema Drinfel’d privind antipodului unui algebre Hopf QT. Rigiditate categoriei de module peste o algebra Hopf QT. Dualizarea conceptului: algebre Hopf co-quasitriagulare. Categorii Monoidale: conceptele de baza. Primele propietati ale categoriilor monoidale. Teorema de ‘strictete’ Mac Lane si teorema de coerenta Mac Lane. Categorii braided: primele proprietati, diagrama dodecagon si ecuatia braid in categorii braided. Exemple de categorii monoidale si braided. Algebre Hopf QT si categorii braided. Centrul unei categorii monoidale. Centrul categoriei de H-module = modulele Yetter-Drinfel’d (teorema Majid). Echivalenta dintre categoriile de module Yetter-Drinfel’d stingi -drepte.

Propuneri de referate pentru cele doua cursuri (*):

1) Formula S^4 si teorema Radford – luat de Cristi Popa

2) Teorema Molnar legat de algebrele Hopf cu propietatea Chevalley.

3) Biprodusele Radford pentru algebre Hopf – luat de Ana Agore

4) Teorema Nichols-Zoeller – luat de Cezar Lupu

5) Universalitatea bialgebrei A(R) si cind A(R) este izomorfa cu A(R’)? (th. Radford).

6) Teorema FRT „redusa” si cind A'(R) este biagebra pointed (th. Radford).

7) Forme parametrizate ale ecuatiei cuantice Yang-Baxter.

8 ) Ecuatia cuantica Yang-Baxter pe multimi – luat de Ana Agore

9) Teorema Lu: dublu Heisenberg este un produs crossed trivial al dualului dublului Drinfel’d. (referinta: Montgomery, pg. 196).

10) Teorema Lyubashenko – luat de Octavian Babus.

11) Teorema Schauenburg-Doi privind antipodul unei algebre Hopf co-quasitriangulare.

(*) Asa cum am anuntat la curs pentru a primi puncte pentru un referat (pana la 10 puncte) el trebuie expus la tabla (fie la curs fie la seminar – avem de recuparat cursurile din 1 si 2 octombrie cind nu s-au facut ca nu aveam orar) si sa fie inteles in profunzime de cel ce il expune si nu copiat mecanic de pe foi dupa datina strabuna. Se poate primi si zero puncte pentru un referat prost facut.

Regula jocului la cele doua cursuri: am spus-o la primul curs. Ramane acelasi joc ca si anul trecut cu puncte acumulate in timpul anului din temele propuse si referate. Problemele vor fi lasate insa direct in cursul predat la tabla (cei care nu pot veni le gasesc la colegii lor in notele de curs) si termenul de rezolvare pentru fiecare problema este doua saptamini de la data propunerii la tabla.

NOU! Punctaje acumultate din rezolvari de probleme si referate:

1) Algebre Hopf: Ana Agore 27, Costel Bontea 27, Cristi Popa 19, Cezar Lupu 4, Octavian Babus 2.

2) Grupuri cuantice: Costel Bontea 31, Ana Agore 30, Octavian Babus 22, Sorina Predut 21, Cristi Popa 19, Nona Craciun 7, Ionela Preda 2.

Octombrie 7, 2009 Posted by | Uncategorized | Lasă un comentariu