Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Algebre Hopf, grupuri cuantice anul VI: rezumatul cursurilor

Algebre Hopf: rezumatul cursurilor.

Life after Kaplanski five : din nou despre antipodul unei algebre Hopf. Conjectura 5 a lui Kaplanski si algebre Hopf involutorii. Bijectivitatea antipodului unei algebre Hopf finit dimensionale (demostratie directa, fara teorema de unicitate a integralelor). Teorema Chirvasitu🙂 : antipodul oricarei algebre Hopf este epimorfism si monomorfism in categoria Hopf. Duale pentru module si comodule: „rigiditatea” categoriilor pentru algebre Hopf involutorii. Aplicatie: teorema Serre pentru algebre Hopf involutorii. Noi constructii de algebre Hopf (1): the twist construction si importanta sa in teoria clasificarii (teorema Drinfel’d, 1989). Izomorfismul intre doua produse twisted. Noi constructii de algebre Hopf (2): deformarea multiplicarii via un cociclul Sweedler (Y. Doi, 1993). Izomorfismul intre doua produse deformate in sensul lui Doi. Aplicatie remarcabila a constructiei: Dublu Drinfel’d ca algebra Hopf deformata via un cociclul Sweedler (teorema Doi-Takeuchi). Probleme de studiu si cercetare. Noi constructii de algebre Hopf (3): produsul bicrossed (double cross product in terminologia Majid) de algebre Hopf: constructie si teorema de caracterizare (problema de factorizare): teoremele Majid. Cazuri speciale de produse bicrossed: produs smash de algebre Hopf si siruri splitate. Descrierea nuclelor in categoria algebrelor Hopf, morfisme normale si teorema Molnar. Dublu Drinfel’d ca produs bicrossed (in toate variantele sale) si dubluri cuantice generalizate asociate unei „dualitati” (paired) in caz infinit dimensional. Dublul Drifel’d al agebrei grupale. Constructia duala: bicrossed coproduct de algebre Hopf. Smash coproduct. Noi constructii de algebre Hopf (4): constructia biprodusului Radford si bosonizarea Majid. Cazuri speciale de biproduse si interpretarea categoricala a teoremei Radford. Algebre, coalgebre si bialgebre in categoria de module Yetter-Drinfel’d. Extinderi splitate de algebre Hopf: teorema Radford.

Grupuri cuantice: rezumatul cursurilor.

Ecuatia cuantica Yang-Baxter (QYBE) si ecuatia braid (BE). Echivalenta dintre ele, forma scalara. Primele exemple de solutii la QYBE: operatorul clasic YB si generalizari ale lui. Solutii la QYBE din algebre si coalgebre (Nuss, Beidar, Fong, Stolin, etc) si legatura cu algebre separabile si Frobenius. Algebre Hopf vs QYBE: algebre Hopf quasitriangulare (resp. braided) si teorema Drinfel’d (resp. Larson Towber). Module Yetter-Drinfel’d vs QYBE: teorema Yetter. Constructii de module cuantice Yetter-Drinfel’d. Obstructii Yetter-Drinfel’d si o noua lema tehnica. Teorema FRT: cele doua variante ale ei. Aplicatii ale teoremei FRT: constructia grupurilor cuantice GL_q (2) si SL_q(2). Clasificarea solutiilor QYBE dupa teorema FRT. Dublu Drinfel’d ca algebra Hopf quasi triangulara si echivalenta reprezentarilor sale cu modulele Yetter-Drinfel’d. Algebre Hopf quasitriangulare: propietati de baza si exemple. Teorema Drinfel’d privind antipodului unui algebre Hopf QT. Rigiditate categoriei de module peste o algebra Hopf QT. Dualizarea conceptului: algebre Hopf co-quasitriagulare. Categorii Monoidale: conceptele de baza. Primele propietati ale categoriilor monoidale. Teorema de ‘strictete’ Mac Lane si teorema de coerenta Mac Lane. Categorii braided: primele proprietati, diagrama dodecagon si ecuatia braid in categorii braided. Exemple de categorii monoidale si braided. Algebre Hopf QT si categorii braided. Centrul unei categorii monoidale. Centrul categoriei de H-module = modulele Yetter-Drinfel’d (teorema Majid). Echivalenta dintre categoriile de module Yetter-Drinfel’d stingi -drepte.

Propuneri de referate pentru cele doua cursuri (*):

1) Formula S^4 si teorema Radford – luat de Cristi Popa

2) Teorema Molnar legat de algebrele Hopf cu propietatea Chevalley.

3) Biprodusele Radford pentru algebre Hopf – luat de Ana Agore

4) Teorema Nichols-Zoeller – luat de Cezar Lupu

5) Universalitatea bialgebrei A(R) si cind A(R) este izomorfa cu A(R’)? (th. Radford).

6) Teorema FRT „redusa” si cind A'(R) este biagebra pointed (th. Radford).

7) Forme parametrizate ale ecuatiei cuantice Yang-Baxter.

8 ) Ecuatia cuantica Yang-Baxter pe multimi – luat de Ana Agore

9) Teorema Lu: dublu Heisenberg este un produs crossed trivial al dualului dublului Drinfel’d. (referinta: Montgomery, pg. 196).

10) Teorema Lyubashenko – luat de Octavian Babus.

11) Teorema Schauenburg-Doi privind antipodul unei algebre Hopf co-quasitriangulare.

(*) Asa cum am anuntat la curs pentru a primi puncte pentru un referat (pana la 10 puncte) el trebuie expus la tabla (fie la curs fie la seminar – avem de recuparat cursurile din 1 si 2 octombrie cind nu s-au facut ca nu aveam orar) si sa fie inteles in profunzime de cel ce il expune si nu copiat mecanic de pe foi dupa datina strabuna. Se poate primi si zero puncte pentru un referat prost facut.

Regula jocului la cele doua cursuri: am spus-o la primul curs. Ramane acelasi joc ca si anul trecut cu puncte acumulate in timpul anului din temele propuse si referate. Problemele vor fi lasate insa direct in cursul predat la tabla (cei care nu pot veni le gasesc la colegii lor in notele de curs) si termenul de rezolvare pentru fiecare problema este doua saptamini de la data propunerii la tabla.

NOU! Punctaje acumultate din rezolvari de probleme si referate:

1) Algebre Hopf: Ana Agore 27, Costel Bontea 27, Cristi Popa 19, Cezar Lupu 4, Octavian Babus 2.

2) Grupuri cuantice: Costel Bontea 31, Ana Agore 30, Octavian Babus 22, Sorina Predut 21, Cristi Popa 19, Nona Craciun 7, Ionela Preda 2.

Octombrie 7, 2009 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: