Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Curs 14 algebre Hopf, detalii examene, sinteza teoriei

Curs 14, joi 21 mai 2009: Orice algebra Hopf finit dimensionala este Frobenius. Teorema Maschke pentru algebre Hopf finit dimensionale si exemple. Elementul grupal distins si algebre Hopf unimodulare. Algebre Hopf cosemisimple: Teorema Maschke pentru algebre Hopf infinit dimensionale. Separabilitatea extinderilor Hopf-Galois pentru algebre Hopf finit dimensionale semisimple. Discutii si detalii despre examen.

Examen restanta Teoria Categoriilor, 25 mai, ora 9: Restanta se va desfasura cu aceleasi reguli ca examenul din iarna expuse la https://gigelmilitaru.wordpress.com/2009/01/14/curs-14-seminar-stiintific-examen Proba scrisa dintr-o lista de probleme si cine doreste apoi sa isi mareasca nota participa la proba orala fiecare student sa aiba pentru asta pregatite o lista de 10 subiecte din materia predata.

Examen Algebre Hopf, 2 iunie ora 9. Examenul se va desfasura dupa regulile stabilite la primul curs. Fiecare student are un numar de puncte obtinute din rezolvarile de probleme sau referate. La examen veti primi o lista vasta de probleme din care fiecare student poate rezolva cite doreste pentru a obtine 30 de puncte (pentru nota 10). Totodata pentru examenul de oral (teorie), pentru cine doreste aceasta optiune, fiecare student sa isi pregateasca o lista de 10 subiecte din materia predata in acest semestru. Mai jos este sinteza detaliata a teorie predate la curs.

Sinteza detaliata a teoriei predate la cursul de Algebre Hopf sem. II, 2009: Algebre asociative: definitii echivalente. Categoria k-Alg si k-AlgCom (produse directe, produse subdirecte si (co)egalizatori). Exemple standard de k-algebre. Inapoi la clasici: constantele de structura. Produs tensorial de k-algebre, proprietatea de universalitate si teorema Noether. Constructii speciale de k-algebre: algebra of quantum mechanics, algebra tensoriala. Constructii speciale de k-algebre (I) : algebra liber generata de o multime, algebre simetrice, algebre exterioare (Grassmann), algebre Clifford. Coproduse in categoria k-Alg si k-AlgCom. Constructii speciale de k-algebre (II): produsul crossed la nivel de algebre si cazuri speciale (skew group algebra si twisted product algebra), teorema Maschke pentru produse crossed. Produsul bicrossed de algebre (twisted tensor product algebra), constructie. Produsul bicrossed de algebre (twisted tensor product algebra), exemple si problema de factorizare: probleme recente de cercetare. Module peste algebre: definitii echivalente. Coalgebre si Coringuri: definitii de baza. Exemple diverse de coalgebre si coringuri (I). Produs tensorial de coalgebre si coprodusul bicrossed de coalgebre. Exemple diverse de coalgebre si coringuri (II). Algebra duala unei coalgebre si coalgebra duala unei algebre finit dimensionale. Exemple. Teorema de dualitate algebre vs coalgebre in cazul finit dimensional. C ca un C*-bimodul. R^{op}-ringurile duale asociate unui R-coring. Concepte de baza in categoria coalgebrelor: coproduse, subcoalgebre, coideale, coalgebre factor, teorema fundamentala de izomorfism, coegalizatori, egalizatori, produse directe (*). k-CoAlg e o categorie completa si cocompleta. Elemente grupale: definitie, proprietati, exemple. Comodule: drepte, stingi, bicomodule. Exemple de comodule: comodule peste coalgebra grupala, comodule vs matrici comultiplicative, functorul corestrictia scalarilor pentru coalgebre si produsul cotensor ca adjunct la dreapta. Functorul uituc si adjunctul sau la dreapta (cofree comodule). Hom-tensor relations pentru comodule. Teorema fundamentala pentru comodule si coalgebre. Comodule vs Module. Functorul fidel si ful de la categoria de comodule la categoria de C*-module. Module rationale: echivalenta de categorii intre modulele rationale si comodule. Bye, bye coalgebras (*). Bialgebre: definitie. Categoria Bialgebrelor si constructia bialgebrei liber generate de o coalgebra. (Co)Generatori pentru categoria de coalgebre, bialgebre. Duala unei bialgebre finit dimensionale. (C0)module peste bialgebre. Algebre Hopf, duala unei algebre Hopf finit dimensionale. Categoria algebrelor Hopf nu are cogeneratori si are un generator. Proprietatile antipodului. Perechea de functori adjuncti intre categoria grupurilor si categoria algebrelor Hopf si functorul scufundare (categoria grupurilor este echivalenta cu o subcategorie de algebre Hopf). Teorema de echivalenta/dualitate pentru grupuri finite si algebre Hopf. Exemple de algebre Hopf: algebra grupala, duala algebrei grupale, algebra tensoriala, algebra simetrica, algebra anvelopanta unei algebre Lie. Perechea de functori adjuncti intre categoria algebrelor Lie si algebre Hopf. Alte exemple de algebre Hopf (I): Gl(n), Sl(n), algebre de polinoame, etc. Alte exemple de algebre Hopf. Module Hopf: exemple de module Hopf. Adjunctii functorilor uituci pentru module Hopf. Functorul de luare a coinvariantilor: reprezentabilitatea sa si adjunctul la stinga pentru bialgebre. Teorema fundamentala pentru module Hopf. Actiuni de algebre Hopf pe k-algebre (H-modul algebre): definitii echivalente si cele patru concepte de H-(co)modul (co)algebre. Produs smash: constructie si reprezentarile sale (th. Gordon-Robson). Exemple de actiuni si produse smash: produse semidirecte de grupuri, actiuni de grupuri pe k-algebre si skew group algebra, inele graduate si produsul smash (Quinn), actiuni prin derivari ale algebrelor Lie si inelul de polinoame diferentiale, dublul Heisenberg (teorema de structura Montgomery), etc– toate astea si altele sunt cazuri speciale ale contructiei Sweedler a produsului smash asociate unei actiuni de algebre Hopf pe k-algebre.  Produs crossed pentru algebre Hopf. Coactiuni de algebre Hopf si exemple. Module Hopf relative: teorema de echivalenta in caz finit dimensional. Functori pentru module Hopf relative: functorii uituci si adjunctii lor, functorul indus si adjunctul sau drept (functorul reprezentabil al luarii coinvariantilor). Weak structure theorem (th. Schneider): integrale totale si functorul indus (fidel si ful). Extinderi Hopf-Galois: exemple. Produs smash pentru H-comodul algebre. H-(co)modul coalgebre: exemple. Doi-Koppinen datum si reprezentarile lor: cazuri speciale de Doi-Koppinen module. Pledoarie pentru coringuri: comodule peste coringuri vs Doi-Koppinen module. Integrale pe o bialgebra: definitii si exemple. Intregrale intr-o algebra Hopf finit dimenensionala: definitii, exemple, teorema de unicitate a integralelor (Larson Sweedler). Orice algebra Hopf finit dimensionala este Frobenius. Teorema Maschke pentru algebre Hopf finit dimensionale si exemple. Elementul grupal distins si algebre Hopf unimodulare. Algebre Hopf cosemisimple: Teorema Maschke pentru algebre Hopf infinit dimensionale. Separabilitatea extidenerilor Hopf-Galois pentru algebre Hopf finit dimensionale semisimple.

Mai 20, 2009 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: