Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Algebre Hopf curs 12, lista 3 de probleme, referate.

Curs 12, joi 7 mai 2009. Produs crossed pentru algebre Hopf. Coactiuni de algebre Hopf si exemple. Module Hopf relative: teorema de echivalenta in caz finit dimensional. Functori pentru module Hopf relative: functorii uituci si adjunctii lor, functorul indus si adjunctul sau drept (functorul reprezentabil al luarii coinvariantilor). Weak structure theorem (th. Schneider): integrale totale si functorul indus (fidel si ful). Extinderi Hopf-Galois: exemple.

Lista 3 de probleme e aici:  https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/05/hopf34.pdf Se pot aduce solutii pana in ziua de examen. Un student poate acumula din lista 3 maxim 10 puncte.

Propuneri referate: 1) Constructia produsului crossed pentru algebre Hopf. 2) Teorema Santos.

Bibliografie: Montomery: Hopf algebras….

Mai 6, 2009 - Posted by | Uncategorized

3 comentarii »

  1. Peste tot lucrăm cu un corp fixat k. Algebrele Hopf, algebrele, spaţiile vectoriale, etc. sunt peste k.

    Problema 1

    Fie A o algebră. Are endofunctorul T=A\otimes- al categoriei k-Alg un adjunct stâng sau drept?

    Soluţie:

    T are un adjunct drept dacă şi numai dacă A=k, şi analog pentru adjunct stâng. O implicaţie e uşoară: dacă A=k, atunci T e izomorf cu identitatea. Reciproc, să presupunem că T are adjunct drept. Atunci el conservă obiectul iniţial, adică k. Dar T(k)=A, deci A=k. Presupunem acum că T are adjunct stâng. Asta înseamnă că T conservă produsele. În particular, aplicaţia canonică A\otimes (k\times k)\to A\times A este bijectivă. Dar imaginea ei este conţinută în suma directă a spaţiilor de forma ke\otimes ke, unde e\in A parcurge o bază a lui A peste k. Pentru ca aplicaţia să fie surjectivă e necesar deci ca A să fie 1-dimensională, adică A=k.

    Problema 3

    Are categoria algebrelor Hopf o mulţime de cogeneratori?

    Soluţie:

    Nu are. Dacă am o adjuncţie stângă (F,G) cu adjunctul stâng F fidel, atunci adjunctul drept G conservă cogeneratorii. Eu o să folosesc adjuncţia de la grupuri la k-algebre Hopf, în care adjunctul stâng F:Grp\to k-Hopf e luarea algebrei grupale, iar adjunctul drept G:k-Hopf\to Grp e luarea elementelor grupale. Evident, F este fidel. Conform observaţiei precedente, dacă k-Hopf ar avea cogeneratori, atunci G i-ar trimite în cogeneratori pentru Grp. Dar ştim dintr-o discuţie de acum câţiva ani că Grp nu are cogeneratori (argumentul folosea faptul că există grupuri simple de cardinal arbitrar de mare; cred că l-am scris atunci pe blog, şi am revenit şi cu exemple concrete: „grupul altern” infinit, adică acele permutări ale unei mulţimi de cardinal arbitrar de mare care fixează mută numai un număr finit de elemente, şi sunt permutări pare).

    Problema 5

    Este algebra Hopf k[X] generator în categoria algebrelor Hopf?

    Soluţie:

    Nu, nu este. O să găsesc o algebră Hopf H şi două endomorfisme diferite ale ei f \ne g astfel încât să nu existe un morfism t:k[X]\to H cu ft\ne gt.

    Algebra H va fi algebra grupală a grupului $\latex \{1,u\}$ cu două elemente. Cele două endomorfisme f,g diferite ale ei sunt cele induse de cele două endomorfisme ale grupului cu două elemente; ele coincid pe k\subset H. Singurul morfism t de algebre Hopf de la k[X] la H este însă cel care trimite X în zero, pentru că H nu are elemente primitive nenule (asta se vede uşor: un element primitiv e anulat de counitate, deci trebuie să fie un multiplu al lui 1-u, etc.). Cum f,g coincid pe k\subset H şi t are imaginea în k\subset H, rezultă că ft=gt.

    Problema 6

    Are uitucul de la algebre Hopf la k-spaţii vectoriale un adjunct stâng?

    Soluţie:

    Nu are, şi nici adjunct drept. Adjuncţii drepţi (stângi) conservă obiectele finale (respectiv iniţiale). Dar categoria algebrelor Hopf are obiect nul k, pe când cea a k-spaţiilor vectoriale are obiect nul 0.

    Comentariu de Chirvăsitu Alexandru | Mai 14, 2009

  2. Alex a postat primele solutii. le voi demodera dupa examen. am adaugat faptul ca se pot acumula 10 puncte din aceasta lista ca uitasem sa spun.

    Comentariu de gigelmilitaru | Mai 15, 2009

  3. Încă una, că am vorbit despre ea la seminar. E mai greu de scris decât de văzut cum funcţionează demonstraţia.

    Problema 8

    Dacă L e algebră Lie în caracteristică nulă, arătaţi că P(U(L))=L.

    Soluţie:

    O incluziune e clară: L constă din elemente primitive. Reciproc, vrem să arătăm că toate elementele primitive din U(L) sunt din L. Pentru asta folosesc Teorema PBW sub forma următoare: consider filtrarea obişnuită a lui U(L), în care partea de indice n\ge 0 e spaţiul generat de produsele de cel mult n elemente din L. Atunci teorema spune că algebra graduată asociată acestei filtrări e chiar algebra simetrică S(L) a spaţiului L. Se enunţă de obicei numai pentru structura de algebră, dar de fapt filtrarea pe U(L) este filtrare Hopf, şi algebra graduată asociată este algebra simetrică S(L) şi ca algebră Hopf.

    Concluzia e acum echivalentă cu a arăta că algebra Hopf graduată S(L) are elemente primitive numai în grad unu. Fie x un element primitiv care nu e de grad 1. Pentru că algebra e graduată, putem presupune că x e omogen, adică produs de elemente x_i\in L,\ i=\overline{1,n} pentru un n\ge 2, unde x_i aparţin unei baze a lui L (se poate ca unii dintre x_i să coincidă), deci monoamele în x_i sunt liniar independente. Dar atunci \Delta(x)=\prod_{i=1}^n(x_i\otimes 1+1\otimes x_i). Coeficientul lui (x_1\ldots x_{n-1})\otimes x_n în acest produs, de exemplu, este un număr natural nenul (pur şi simplu se desfac parantezele), care va fi deci element nenul al corpului, din cauza ipotezei de caracteristică nulă. Asta contrazice \Delta(x)=x\otimes 1+1\otimes x.

    Comentariu de Chirvăsitu Alexandru | Mai 16, 2009


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: