Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Curs 6 si lista 2 de probleme

Algebre Hopf curs 6, joi 26.03.2009.  Comodule: drepte, stingi, bicomodule. Exemple de comodule: comodule peste coalgebra grupala, comodule vs matrici comultiplicative, functorul corestrictia scalarilor pentru coalgebre si produsul cotensor ca adjunct la dreapta. Functorul uituc si adjunctul sau la dreapta (cofree comodule). Hom-tensor relations pentru comodule. Teorema fundamentala pentru comodule si coalgebre.

Lista 2 de probleme e aici https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/03/hopf21.pdf Numarul de puncte maxim pe care le poate lua de un student e asa: 6 puncte din problemele 1-8, 9 puncte daca rezolva si una din problemele 9-12. Termenul limita pana la care primesc solutii din lista 2 este 16 aprilie 2009. Pe lista este si o problema de cercetare: cine o face si scrie un articol pe tema asta are nota 10 la examen!

Martie 27, 2009 - Posted by | Uncategorized

1 comentariu »

  1. Deocamdată următoarele 3 probleme; cred că o să revin.

    Problema 8

    Daţi exemplu de un C^*-modul stâng care nu e raţional.

    Soluţie:

    Mereu când C^* este infinit dimensională peste corpul de bază k,\ C^* nu este raţional ca C^*-modul stâng. Asta pentru că un C^*-modul raţional ciclic este finit dimensional, şi C^* este ciclic.

    Ca exemplu concret, luăm de exemplu C=coalgebra grupală asociată unei mulţimi infinite; atunci _{C^*}C^* este C^*-modul stâng neraţional, conform celor de mai sus.

    Problema 9

    Functorul incluziune F:M^C\to _{C^*}M are un adjunct drept.

    Demonstraţie:

    Putem identifica F cu incluziunea categoriei depline (full) a modulelor raţionale în _{C^*}M. Afirm că functorul G: _{C^*}M\to M^C care asociază unui C^*-modul suma tuturor submodulelor sale raţionakle este adjunctul drept căutat. Se mai notează şi GN=rat(N).

    În primul rând, pentru că proprietatea unui modul de a fi raţional este „locală” (se verifică pe fiecare element în parte), se vede imediat că suma tutror submodulelor raţionale ale unui modul este într-adevăr modul raţional. Deci are sens definiţia lui G. De asemenea, din faptul că imaginea printr-un morfism a unui modul raţional este modul raţional se vede că G este functor. Pentru a demonstra că este adjunct drept al lui F, trebuie arătat că

    _{C^*}Hom(FM\ ,\ N)\cong _{C^*}Hom(M\ ,\ GN)

    pentru orice module M,N cu M raţional. Dar din aceeaşi observaţie că imaginea unui modul raţional printr-un morfism e modul raţional, asta se vede imediat: toate morfismele de module de la M la N au imaginea în partea raţională GN a lui N.

    Problema 10

    Arătaţi că uitucul M^C\to M_k are adjunct stâng dacă şi numai dacă C e finit dimensională. Arătaţi că -\otimes C este un adjunct stâng al său dacă şi numai dacă C e finit dimensională şi C^* e algebră Frobenius.

    Demonstraţie:

    Să zicem că uitucul are adjunct stâng. Ştim deja că are un adjunct drept, anume -\otimes C. Adjuncţii drepţi conservă produsele şi M^C are produse (partea raţională a produsului uzual de spaţii vectoriale), deci produsul unei mulţimi arbitrare de module raţionale este raţional. Observăm acum că _{C^*}C^* se poate scufunda într-un produs de module raţionale: dacă 0\ne f\in C^* şi c\in C cu f(c)\ne 0, atunci fc\ne 0 (acţiunea lui f pe c dată de structura de C^*-modul stâng a lui C); v. observaţia de la sfârşitul demonstraţiei. Găsim deci morfisme de C^*-module stângi C^*\to C de forma f\mapsto fc care împreună dau o scufundare C^*\to\prod C. Cum \prod C este raţional, şi C^* va fi raţional; fiind şi C^*-modul ciclic, trebuie să fie spaţiu finit dimensional, şi am terminat.

    Reciproca e uşoară: dacă C este finit dimensională, atunci avem izomorfismul de categorii M^C\to _{C^*}M, iar uitucul se identifică exact cu uitucul _{C^*}M\to M_k. Desigur, ăsta are un adjunct stâng, anume C^*\otimes -.

    Partea a doua a enunţului rezultă din prima: uitucul are adjunct stâng şi acesta e -\otimes C dacă şi numai dacă (din prima parte a problemei) C e finit dimensională şi uitucul M^C\to M_k e Frobenius, dacă şi numai dacă C e finit dimensională şi uitucul _{C^*}M\cong M^C\to M_k este Frobenius, dacă şi numai dacă C^* e algebră Frobenius.

    Observaţie:

    Am afirmat mai sus că dacă f\in C^*,\ c\in C cu f(c)\ne 0, atunci fc\ne 0. Asta se vede aşa: fc=c_{1}f(c_{2}), subînţelegând sumarea. Dacă asta e nulă, aplicând \varepsilon şi folosind proprietatea de counitate obţinem f(c)=0, contradicţie.

    Comentariu de Chirvăsitu Alexandru | Martie 29, 2009


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: