Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Probleme celebre(II): the factorization problem (Ore)

Cum topicul Probleme celebre (I): the extension problem (Holder) fost unul din cele mai accesate (povesti detaliate cu referinte suplimentare despre ea, probleme deschise etc puteti gasi in primul articol de aici http://ajse.kfupm.edu.sa/jindx_theme.asp ) m-am gindit ca periodic sa postez din probleme ‘celebre’ ale algebrei: mai ales unele care au caracter elementar si pot fi spuse si abordate de studenti. Azi a venit rindul lui “the factorization problem” (pusa de Ore in articolul [1]). In fapt ea e mai veche, din jurul anului 1900, si a fost pusa de Maillet (alte referinte despre ea gasiti in [2]). In ce consta problema? Tehnic vorbind ea poate fi privita ca un fel de duala (termenul e un pic fortat – caci nu e duala in sens categorical) a lui “the extension problem” si a fost enuntata de Sahn Majid la inceputul anilor 90 in cazul cel mai general (iesim din cadrul teoriei grupurilor unde a fost formulata) asa:

The factorization problem: Fie O un obiect matematic dat (grup, algebra, grup topologic, grup cuantic, grup Lie, algebra Lie, grup local compact, etc, etc ). Cind acesta se poate scrie ca un “produs” a doua subobiecte avind “intersectie minimala”?

The exemplificam la nivel de grupuri problema sa vedeti ce simplu si elementar se poate enunta: fiind dat un grup G cind exista doua subgrupuri H si K ale sale a.i. G = HK si H \cap K = 1 (asta inseamna pentru grupuri expresia ‘intersectie minimala’). Grupistii numesc asta ‘exact factorization’ si descrierea grupurilor (simple) cu  ‘exact factorization’ a fost o problema care a fost abordata in sute de articole incepind cu anii 80 pana in zilele noastre (cind a fost readusa pe piata odata cu folosirea programelor de calculator). Evident grupurile abeliene care nu au exact factorization sunt exact Z-modulele idecompozabile asa ca grupurile care nu au exact factorization pot fi numite grupuri idecompozabile.

Daca in cazul „the extension problem” constructia esentiala care incearca sa rezolve problema este produsul crossed contrapartea la the factorization problem este jucat de produsul bicrossed (la nivel de grupuri mai este numit knit sau Zappa-Szep product)  – la nivel de algebre se numeste produsul twist. Daca produsul crossed intre doua obiecte este construit cu ajutorul unui 2-cociclu si o actiune produsul bicrossed constructia se face cu doua actiuni (fiecare obiect actioneaza pe celalalt) care formeaza o asa numita ‘pereche potrivita‘ (matched pair). In ce domenii din matematica a fost introdus si studiat pana acum produsul bicrossed puteti citi in [3] (evident dupa stiinta mea, posibil sa fie si in alte domenii). Derivat din problema este una cu enunt la fel de simplu si care pare sa fie extrem de grea (o formulez doar la nivel de grupuri – evident similiar se poate formula pentru algebre, sau alte obiecte matematice) dar si foarte frumoasa:

Descriere si clasifiarea produselor bicrossed: Fiind date doua grupuri H si K descrieti toate produsele bicrossed dintre ele si clasificati-le pana la un izomorfism. Reformulare problemei (fara conceputul de produs bircrossed care poate speria studentii de anul I): Gasiti si clasificati pana la un izomorfism toate grupurile G care contin pe H si K ca subgrupuri a.i. G = HK si H \cap K = 1. (aici desigur vorbesc via o identificare: G contine doua subgrupuri H’ si K’, izomorfe cu H si K a.i.  G = H'K' si H' \cap K' = 1.

Acesta problema, atit de elementar formulata, este una foarte grea: dupa stiinta mea pana acum se stie raspunsul la ea (fara clasificare – doar partea de descriere) doar in cazul in care H si K sunt grupuri ciclice infinite sau unul este ciclic finit si celalalt ciclic infinit. Chiar si cazul ce ar parea mai usor ( H, K sunt ambele ciclice finite) nu este cunoscut desi Jesse Douglas (primul medaliat Fields in matematica) i-a dedicat vreo 4 articole (cine le doreste ma poate contacta si ii trimit fisierele lor) in care anunta vreo 30 de teoreme (nici una cu demonstratie! – autorul zicea ca va reveni cu demostratii complete si … nu a mai facut-o niciodata) in anii 50. Practic cred ca singurul rezultat de structura cunoscut pana acum la problema asta veche din 1937 (repet va vorbeste un nespecialist in teoria grupurilor) este cel in care unul din grupuri este de ordin prim: e rezultatul principal din [2] si care spune ca in acest caz orice produs bicrossed este izomorf cu unul semidirect. Asta am putea sa o numim un fel de teorema Schur – Zassenhaus pentru produse bicrossed.

Recent problema descrierii produselor bicrossed a fost abordata (Cibils a fost primul, au urmat si altii) si la nivel de algebre unde dificultatile sunt si mai mari dar rezultatele ce apar sunt deosebit de frumoase. Parte din lucrurile astea o sa le abordez in seminarul stiintific studentesc din semestrul II pentru a (re)deschide de o alta fereastra de studiu.

[1] O. Ore, Structures and group theory. I. Duke Math. J.  3 (1937), no. 2, 149–174. 

[2] A. L. Agore, A. Chirvasitu, B. Ion, G. Militaru, Bicrossed products for finite groups, va apare in „Algebras and Representation Theory, o varianta preliminara cu alt titlu poate fi descarcata de aici  http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0703/0703471v2.pdf

[3] GM: Talk la Conferinta din Almeria, 2007. Fisierul se poate descarca de aici  http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2007/catedre/algebra/g_militaru/Talk%20Almeria%202007.pdf

Ianuarie 29, 2009 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: