Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Categorii: curs 14, sinteza teorie, examen

Curs 14 (categorii): rezumatul cursului de joi 15.01.2009: Exemple de functori separabili: functorul coindus _S Hom (U, -) (teorema Caenepeel-Kadison, K-Theory, 2001). Aplicatii pentru extinderi de inele: extinderi separabile, Frobenius, split (*). Teorema Hirata-Sugano, teorema Maschke (versiunea „separabila”), teorema Zelinski. Discutii despre examen.(**)

Seminar Stiintific Studentesc (Joi 15 ianuarie 2009, ora 15, sala 215, dupa conferinta domnului Solomon Marcus): Ana Agore: Ecuatia cuantica Yang Baxter pe multimi (partea a III-a).

(*)Propunere de referat: Teorema de caracterizare a algebrelor separabile (Bibliografie: S. Caenepeel, G. M., S. Zhu, „Frobenius and Separable functors…” Springer 2002 (teorema 3, pagina 30) sau  D. Stefan, „Algebre necomutative formal netede”  (teorema 2.3.3, pag. 52). Algebrele separabile generalizeaza conceputul clasic de extindere separabila de corpuri. O monografie superba dedicata lor este DeMeyer si Ingraham „Separable algebras over commutative rings„, Springer, 1971. D.p.d.v coomologic algebrele separabile sunt algebrele de dimensiune Hochschild zero. Din acest motiv e posibil ca teorema pe care o propun ca referat sa fie abordata si de Dragos in semestru II la cursul de algebra omologica. Functorii separabili evident generalizeaza conceptul de algebra separabila la nivelul cel mai general posibil.

Conjectura (Kadison): Fie S/R o extindere separabila si split a.i. S este R-modul proiectiv finit generat (si la stinga si la drepta). Este S/R o extindere Frobenius?

Sinteza detaliata a teoriei predate la curs:
Introducere: Unde si de ce au aparut prima data categoriile, functorii, transformarile naturale. The extension problem. Ce este o clasa? Ce este un univers? Axioma universurilor (Grothendieck). De ce Teoria Categoriilor? Motivatii: monoid, grup, co-monoid, co-grup (prin diverse categorii).
Definitia categoriilor. Primele exemple de categorii: Set si multiplele sale “rude”. Concepte de baza in categorii (1): subcategorie, mono/epi/izo/morfisme, duala unei categorii. Metateorema: principiul general al dualitatii. Produs direct de categorii. Categorii preaditive.  Parametrizarea categoriilor mici. Grupoizi. Obiecte initiale/finale/zero intr-o categorie. Exemple. Numerele naturale intr-o noua prezentare (categoricala): dupa Lawvere. Alte exemple (non)standard de categorii: algebre, coalgebre, coringuri. Grupoizi si algebra grupoidala (exemple): group bundles vs grupoizi. Concepte de baza in categorii (2): subobiecte, obiecte factor; (co)produse ca obiecte finale (initiale); produse/sume fibrate; (co)egalizatori; (co)nuclee; Propietati ale acestor concepte si exemple standard.  Axiomele AB1), AB2) si descompunerea canonica a unui morfism.  Aplicatii ale coegalizatorilor: Cirezi vs grupuri. Categorii abeliene.  Axiomele AB4), AB5).  (Co)Generatori: exemple in categorii standard. Categorii Grothendieck.  Functori. Clase speciale de functori (fideli, fuli, esential surjectivi, scufundari, aditivi, exacti, etc) si exemple generale de functori si proprietati. Teorema Cayley (orice categoria mica este categorie concreta ). Functori vs diverse concepte in matematica (functii (des)crescatoare intre poset-uri, morfisme de monoizi/grupuri, actiuni de grupuri pe multimi, reprezentari de grupuri, multimi sau obiecte simpliciale etc ). Categorii fara (co)egalizatori si monoizi cu egalizatori. Categoria ”semidirect product” (Grothendick construction) Alte exemple concrete de functori: functori de tip uituc, indus si coindus, etc. Functorul “algebra de functii” pe un spatiu si “visul geometriei si al fizicii”. Functori conservativi vs functori fideli. Transformari naturale: compunerea pe “verticala” si pe “orizontala” (produsul Godement) al transformarilor naturale. Monoidul comutativ al endomorfismelor functorului identitate: exemple. Exemple concrete de transformari naturale. Calcule de transformari naturale. Exemple de transformari naturale in matematica si de izomorfisme naturale. Categoria Functors (C, D) si exemple concrete. Calcule de transformari naturale: “teorema cheie” si aplicatii pentru categorii de module. Lema lui Yoneda.  Scufundarea Yoneda si aplicatii. Transformari naturale intre functorii coindus. Echivalenta, izomorfism si dualitate de categorii: exemple. Teorema de caracterizare a echivalentelor de categorii. Alte exemple de echivalente de categorii. Functori reprezentabili: teorema de caracterizare. Exemple de functori reprezentabili in ‘natura’. Functori reprezentabili in geometria algebrica: scheme afine si teorema de reprezentabilitate. Categoria spatiilor cuantice. Functori reprezentabili pentru categorii de module: reprezentabilitatea functorului indus (teorema Morita). Reprezentabilitatea functorului indus: teorema Morita (forma extinsa) si aplicatii la module proiective finit generate. Teorema de reprezentabilitate Kan. Functori adjuncti: unicitatea adjunctilor si descrierea cu ajutorul functorilor reprezentabili. Teorema de caracterizarea (unitatea si counitate) pentru functori adjuncti. Propietati ale adjunctilor: cind sunt functori fideli sau fuli.  Primele exemple de functori adjuncti in teoria modulelor.  Orice echivalenta formeaza o pereche de functori adjuncti. Propietatiile adjunctilor: limite si colimite. Cind un functor reprezentabil are un adjunct la stinga? (criteriu necesar si suficient). Functorii adjuncti si functori aditivi. Probleme universale: nou criteriu de existenta a adjunctiilor. Cum construim un adjunct? (cazul detaliat al schemelor afine). Exemple de functori adjuncti in matematica. Functori adjuncti vs (co)generatori. Functori adjuncti intre multimi preordonate (criteriu necesar si suficient de existenta): exemplu de sir infinit de functori adjuncti (Peter Boot).Teorema Morita: descrierea functorilor adjuncti intre doua categorii de module. Teorema Morita: descrierea tuturor echivalentelor de categorii intre doua categorii de module. Cind functorul diagonal are adjunct la dreapta/stinga? Limite si colimite : definitii, cazuri speciale de (co)limite, categorii (co)complete. Set e categorie completa. Functori reprezentabili vs. (co)limite. Functorii adjuncti pastreaza (co)limitele. Calcule de transformari naturale pentru functori adjuncti. Functori Frobenius: definitie si exemple. Descrierea tuturor functorilor Frobenius intre doua categorii de module (teorema Morita). Functori separabili. Teorema Rafael. Exemple de functori separabili: functorul coindus. Aplicatii pentru extinderi de inele: extinderi separabile, Frobenius, split. Teorema Hirata-Sugano, teorema Maschke (versiunea “separabila”), teorema Zelinski.
–––––––––––––-
(**) Despre examen. Studentii care doresc sa isi mareasca nota finala pot sa sustina, dupa examenul scris si la alegerea voastra, si o proba orala (desi nu sunt un fan al examenlor orale) din teorie. Pentru asta fiecare student trebuie sa vina cu o lista de 10 subiecte (teoreme) invatate din materia predata de mai sus si eu voi intreba din ea la tabla. Nota finala pentru studentii ce aleg sa dea si proba orala va fi media din nota de la scris cu nota de la oral. Renuntam la conditia de maxim 20 de puncte si fiecare student sa poata acumula 30 de puncte pana la examen (asa cum am inteles ca se procedeaza la alt curs) rezolvind din problemele lasate si eventual din referate (dar pana acum referate nu prea a luat nimeni). Mai ales ca am lasat si doua probleme de cercetare (vezi lista 3 pe care am reactualizat-o azi) si acolo am spus ca studentul care rezolva una din ele, pe linga faptul va va avea material de scris un articol, primeste si nota 10. Ce ziceti?
______________
Nota: de azi 5 februarie 2008, dupa examen.
Subiectele date ieri la examenul scris sunt aici: https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/examen_final.pdf  Examenul s-a dat dupa tiparul nord-american: doar probleme, la alegere, cu cursurile pe masa. Rezultatele primului examen de acest tip pe care il dau (si pe care il voi practica tot timpul de acum incolo atit cit voi mai fi, daca voi mai fi, pe  aici) ma intristeaza desi, dintre problemele date pentru a aduna 27 de puncte, era suficient doar sa aplici definitiile sau sa particularizezi imediat teoreme facute la curs!  Pentru restanta: examenul va fi la fel: doar probleme la alegere, cu cursurile pe masa. Studentii care au puncte si le mentin si pentru examenul restant.

Solutii la lista 3 (pe linga cele postate de Alex Chirvasitu la topicul listei) sunt aici:

Ana Agore https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/ana_agore_tema3.pdf 

Costel Bontea https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/set_3_bontea_costel.pdf 

Ionela Preda https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/preda_ionelatema3.pdf 

Cristi Popa https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/cristi_popa_set3.pdf 

Octavian Babus  https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/octavian_babus_probleme.pdf

Am mai primit solutii de la Cezar Lupu (intr-un fisier pe care nu il pot posta ca nu ma pricep)

Referat Cezar Lupu: https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/02/cezar_lupu_referat_teorema_gelfand_si_naimark.pdf

Ianuarie 14, 2009 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: