Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Curs 13, seminar stiintific, lista 3 de probleme

Curs 13 (categorii): rezumatul cursului de joi 8.01.2009: Functori reprezentabili vs. (co)limite. Functorii adjuncti pastreaza (co)limitele. Calcule de transformari naturale pentru functori adjuncti. Functori Frobenius: definitie si exemple. Descrierea tuturor functorilor Frobenius intre doua categorii de module (teorema Morita). Functori separabili. Teorema Rafael.

Seminar Stiintific Studentesc (Joi 8 ianuarie 2009, ora 14, sala 215): Ana Agore: Ecuatia cuantica Yang Baxter pe multimi (partea a II-a).

Lista 3 de probleme este aici https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/01/tcprobleme36.pdf  Puteti rezolva din ele si astept solutii pana in 3 februarie 2009.

Solutiile primite la lista 2 in ordinea sosirii:

1) Alexandru Chirvasitu le-a postat aici https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/11/01/categorii-punctaje-lista-1-si-lista-2-de-probleme/ si aici https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/11/05/categorii-curs-6/ (unde calculeaza centrul categoriei grupurilor finite: o demostratie super frumoasa).

2) Costel Bontea in fisierul de aici (are o demostratie draguta la: categoria grupurilor finite nu are generator) https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/01/costel_bontea_set_2.pdf iar la probleme lasate la tabla in timp ce pradam in fisierul de aici https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/01/problemecostel_b.pdf

3) Ana Agore in fisierul de aici  https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/01/ana_agore_tema2.pdf (are o demostratie frumoasa la problema 2) iar la problema lasata la curs (constructia grupului universal anvelopant: adjunctul la stinga al uitucului de la categoria Grupurilor la categoria Monoizilor) in fisierul de aici https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/01/aa_adjunct.pdf

Ianuarie 6, 2009 - Posted by | Uncategorized

2 comentarii »

  1. O să fie în mesajul ăsta soluţii pentru trei dintre probleme. Poate revin cu altele.

    Problema 10

    Se definesc patru functori de la Ab la Ab după cum urmează: F_1(A)=nA, F_2(A)=\{x\in A\ |\ nx=0\} (aici era nx=x în fişierul PDF, dar parcă arată mai frumos aşa, şi e numai o schimbare de notaţie), F_3(A)= torsiunea lui A, şi F_4(A)= intersecţia tuturor morfismelor A\to Z.

    Arătaţi că dintre cei patru functori, numai F_2 e reprezentabil.

    Demonstraţie:

    Pentru orice x\in A cu nx=0 există un unic morfism Z/nZ\to A care trimite 1\in Z/nZ în x, deci avem F_2(A)\cong Hom(Z/nZ, A), şi F_2 e într-adevăr reprezentabil.

    Voi arăta că niciunul dintre ceilalţi functori nu conservă limitele, de unde rezultă că nu pot fi reprezentabili.

    F_1 nu conservă nucleele. Cu alte cuvinte, vreau să găsesc un morfism de grupuri f astfel încât aplicaţia canonică F_1(ker\ f)\to ker\ F_1(f) să nu fie izo. Morfismul f va fi o proiecţie canonică A\to A/B unde B\le A e un subgrup cu proprietatea că B\cap nA e strict mai mare decât nB. Atunci se termină, pentru că aplicaţia canonică F_1(ker\ f)\to ker\ F_1(f) va fi incluziunea lui nB în B\cap nA, care prin construcţie nu e surjectivă. Un exemplu de astfel de pereche B\le A e Z\le Q. Avem Z\cap nQ=Z, care e strict mai mare decât nZ.

    F_3 nu conservă produsele directe. De exemplu, grupul A=\prod_{n\ge 1}(Z/p^nZ) nu e de torsiune (pentru că de pildă elementul (1, 1, 1, \ldots)\in A nu e de torsiune), deşi factorii sunt de torsiune.

    F_4 nu conservă nucleele. Exemplul e acelaşi ca pentru F_1: consider morfismul canonic f:Q\to Q/Z. După ce îi aplic acestuia F_4, arată exact la fel (Q şi Q/Z sunt divizibile, deci nu admit morfisme netriviale în Z), deci ker\ F_4(f)=Z. Pe de altă parte, F_4(ker\ f)=F_4(Z)=0.

    Problema 18

    Descrieţi functorii Frobenius între mulţimile parţial ordonate (X,\le) şi (Y,\le).

    Soluţie:

    Un functor între două mulţimi parţial ordonate, privite ca şi categorii, nu e nimic altceva decât o aplicaţie care păstrează ordinea. Afirm că functorii Frobenius X\to Y sunt exact izomorfismele de mulţimi ordonate (adjunctul unui astfel de izomorfism va fi inversa).

    Fie F:(X,\le)\to(Y,\le) şi G:(Y,\le)\to(X,\le) o pereche de functori adjuncţi Frobenius. Avem o unitate id\to GF, deci pentru orice x\in X avem x\le GFx. Pe de altă parte, există şi o counitate GF\to id, deci x\ge GFx. Avem aşadar GF=id_X. Analog, FG=Id_Y, şi F, G sunt într-adevăr perechi de izomorfisme inverse între cele două mulţimi ordonate.

    Reciproc, dacă F:(X,\le)\to(Y,\le) e izo, fie G:Y\to X inversa. Atunci se vede imediat că (F, G) şi (G, F) sunt adjuncţii (valabil pentru orice pereche de izomorfisme inverse între două categorii).

    Problema 19

    Functorii Frobenius Set\to Set sunt izomorfi cu functorul identitate. Să se găsească functorii Frobenius (X,\le)\to Set.

    Soluţie:

    Terminăm întâi cu partea a doua, folosind prima parte a problemei.

    Eu zic că nu există functori Frobenius de la Set la o categorie mică C (ca de exemplu C=(X,\le)). Intr-adevăr, fie o adjuncţie Frobenius (F, G): Set\to C. Atunci avem o adjuncţie (G, F):C\to Set, şi deci, compunându-le, găsim o adjuncţie (GF, GF):Set\to Set, care e bineînţeles Frobenius. Din prima parte a problemei ştim că GF:Set\to Set trebuie să fie izomorf cu identitatea, deci în particular să ia ca valori mulţimi de cardinal arbitrar de mare. Dar GF factorizeaza prin C, care e mică, deci ia o mulţime (mulţime mică, nu clasă proprie) de valori. Am obţinut contradicţia căutată.

    Acum trec la prima parte, adică arăt că endofunctorii Frobenius pe Set sunt izomorfi cu identitatea. Fie (F, G):Set\to Set o adjuncţie Frobenius. Cum F, G au adjuncţi stângi, sunt reprezentabili (fapt binecunoscut: pentru orice categorie C, orice adjunct drept G:C\to Set e reprezentabil, şi un obiect care îl reprezintă e F(singleton), unde F e adjunctul stâng al lui G).

    Putem presupune, conform paragrafului precedent, că F=Hom(A,-) şi G=Hom(B,-). Ar trebui să arăt că A e singleton (situaţia e simetrică, deci iese analog pentru B). F e adjunct stâng, deci Hom(A,-) conservă reuniunile disjuncte. Asta înseamnă că dacă X, Y sunt mulţimi disjuncte, aplicaţia canonică Hom(A,X)\cup Hom(A, Y)\to Hom(A, X\cup Y) e bijectivă. E clar de aici că A nu poate avea mai mult de un element, pentru că în stânga apar morfisme care au toată imaginea în X sau Y. Analog, |B|\le 1. Singura posibilitate care nu a fost tratată este A=B=\emptyset, dar atunci nu am avea adjuncţie.

    Observatie:

    Am folosit mai sus terminologia de „adjuncţie (F, G):C\to D„. Asta înseamnă că F:C\to D e adjunctul stâng al lui G:D\to C. Am zis că e mai bine să precizez, ca să nu fie confuzii.

    Comentariu de Chirvăsitu Alexandru | Ianuarie 8, 2009

  2. Am primit primele solutii la 3 probleme de la Alex dar le postez in 4 februarie: pana atunci sunt moderate sa rezolve si alti colegi.

    Comentariu de gigelmilitaru | Ianuarie 8, 2009


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: