Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Categorii curs 6 si povestile insotitoare: „visul geometriei si al fizicii”

Curs 6. Rezumatul cursului de joi 06.11.2008 

0) categorii fara (co)egalizatori si monoizi cu egalizatori. Categoria „semidirect product” (Grothendick construction) 1) Alte exemple concrete de functori: functori de tip uituc, indus si coindus, etc. 2) Probleme celebre ale algebrei (teoria descentului sau problema a treia a teoriei Clifford) formulate mult mai general si in limbaj de … functori. 3) Functorul “algebra de functii” pe un spatiu si „visul geometriei si al fizicii”. (*) 4) Functori conservativi vs functori fideli. 5) Transformari naturale: compunerea pe „verticala” si pe „orizontala” (produsul Godement) al transformarilor naturale. Monoidul comutativ al endomorfismelor functorului identitate: exemple. 6) Exemple concrete de transformari naturale. 7) Calcule de transformari naturale …

… si un mic exercitiu usor pentru cititorii din anul I la care am ajuns incercind azi intr-o benzinarie cand m-am apucat sa calculez ‘centrului categoriei Gr”: Fie t un numar intreg a.i. pentru orice grup G functia f_t : G \to G, f_t (g) := g^t este morfism de grupuri. Aratati ca t = 0 sau t =1.

Comentariu: sigur stim toti ca daca f_2 sau f^{-1} e morfism de grupuri atunci G e grup abelian; exercitiu va cere sa construiti pentru fiecare t diferit de 0 si 1 , 2, -1 un grup necomutativ G a.i. f_t nu e morfism de grupuri.

Acum sa va spun de unde vine exercitiu si ceva … de numere p-adice. Maine vom invata transformari naturale si vom calcula pentru citeva categorii monoidul comutativ al tuturor transformarilor naturale pe functorul identitate al unei categorii date C (obiectul e inel comutativ daca categoria e preaditiva): Set, R-module, Gr. Monoidul asta o sa il numim provizoriu „centrul categoriei C” [sa il notez cu Z(C)] avind ca motivatie faptul ca pentru categoria de R-module obiectul obtinut este izomorf cu … Z (R), centrul inelului R (e o chestie super elementara din Bass, Algebraic K-Theory). Cind calculezi Z(Gr) ajungi la acel exercitiu si dupa el obtinem ca Z(Gr) = Z_2.

Iata deci ca a calcula centre de categorii devine un sport interesant si placut (daca categoria are un generator) si daca nu picam peste ceva naspa (cind nu avem un generator de exemplu si nu am de ce sa ma leg). De exemplu cred ca e nasol sa calculezi Z(Ab^f), i.e. centrul categoriei grupurilor abeliene finite (ati facut exercitiul ala ca categoria grupurilor finite nu are un generator?).

Exercitiu (din cartea KS, pagina 204): Sa se arate ca Z(Ab^f) este izomorf ca inel cu produsul direct al tuturor inelelor de intregi p-adici (produs dupa toate numerele prime p).  O solutie la problema a dat Dragos Fratila in fisierul atasat aici https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2008/11/centrul_lui_ab-fin.pdf 

Mergind pe aceiasi idee cine o fi Z(Gr^f), unde Gr^f e categoria grupurilor finite? Habar nu am asa ca va puteti gindi si voi.

(*) Functorul “algebra de functii” pe un spatiu si visul geometriei si al fizicii.

Sa dau ceva detalii si pentru citorii blogului din ce am spus azi la curs. Totodata imi serveste ca  sursa de a va propune noi teme de referate pentru cei ce vor sa invete mai mult. Expresia „visul geometriei si al fizicii” nu imi apartine: a fost data de Bodo Pareigis in unul din cursurile lui http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~pareigis/Vorlesungen/01WS/AdvAlgebra_en.html. In fapt, el fusese formulat in forma asta generala si cu alte cuvinte, de Drinfel’d in celebru articol „Quantum Groups”. Am sa incerc sa explic si aici, cit mai didactic cu putinta, despre ce e vorba. Pe scurt si in estenta e vorba despre „algebrizarea problemelor” din alte domenii ale matematicii. Geometria, analiza, fizica studiaza diverse „spatii’, adica multimi pe care sunt diverse structuri: algebrice, analitice, topologice, diferentiabile sau amestec din ele. Cam asta ati invatat pana acum in matematica. Ati studiat … diverse cazuri speciale de categorii spun eu. Aceste spatii sunt evident obiecte in categoriile in care se lucreaza in fiecare domeniul al matematicii (grupuri local compacte, grupuri Lie, varietati algebrice afine, spatii Hausdorf local compacte, grupuri algebrice afine, varietetati diferentiabile, etc etc). In fizica de exemplu se lucreaza cu spatiu ‘starilor’ unui sistem care prin definitie e un spatiu Hausdorff local compact. Ori ce sunt toate acestea? Subcategorii in Set. Asta pe mina stinga. Pe mina dreapta am desenat azi categoria k-algebrelor (unde k e corp – puteti lua R sau C ca in geometria complexa). Ori intre Set si K-alg traieste acest functor contravariant numit „algebra de functii” pe un spatiu (algebra observabilelor e numit in fizica).

Principiul general formulat de Drinfel’d („visul geometriei si al fizicii” ii zice Pareigis – algebrizarea problemelor as spune eu mai moderat decit Pareigis): de regula acest functor (evident modificat in functie de categoria in care ne plasam) realizeaza o dualitate de categorii intre „categoria spatiilor” (dintr-un domeniu dat) si o anumita categorie de k-algebre care trebuie inventata in functie de domeniul in care lucram (inversul acestei functor este de regula functorul Spec care si el trebuie construit). Acest principiu general devine teorema (adesea celebra) in foarte multe cazuri si de la acest principiul general a inceput Drinfel’d povestea grupurilor cuantice si a algebrelor Hopf ( ele joaca un rog central in acest desen – adesea anumite subcategorii de algebre Hopf trebuiesc luate ca si contraparte la categoria spatiilor din partea stinga a povestii). Iata citeva dintre teoremele importante propuse ca referate pentru voi:

Referat 1) Teorema: Categoria varietatilor algebrice afine e in dualitate cu categoria k-algebrelor comutative, finit generate, reduse. Bibliografie: cea mai didactica demostratie, asa pe gustul meu, e data in M. Aprodu, „Varietati torice”, teorema 1.14, pagina 18. (mersi Dragos pentru notele lui Marian de curs de la SNSB).

Referat 2) Teorema celebra Gelfand-Naimark: categoria spatiilor Hausdorf local compacte (i.e. spatiu starilor unui sistem in fizica) este in dualitate cu categoria C*-algebrelor. (Cezar Lupu s-a oferit sa faca referatul asta – a promis ca o sa fie didactic si il vom posta pe blog). 

Alte rezulate faimoase, care dau dualitati intre categorii de ‘spatii’ si anumite categorii de algebre nu pot fi abordate in acest moment ca nu stim inca … algebre Hopf. De exemplu: categoria grupurilor Lie compacte e in dualitate cu categoria  R-algebrelor Hopf, finit generate, comutative + inca doua conditii tehnice. Rezultate in directia asta sunt in Abe: Hopf algebras.

Sa paresesc ‘visul’ (am scris deja prea mult: azi la tabla, am aratat cum el se implineste in cazul cel mai banal: pentru categoria ‘spatiilor’ = multimi finite si cum un exercitiu de anul I – cine sunt idealelele maximale dintr-un k^n – implineste acest vis) si am sa propun alte doua referate in cadrul aceleasi teme a dualitatii intre categorii diferite dar cu altii functori ca jucatori la marcaj.  

Referat 3) Dualitatea Pontryagin: Categoria grupurilor topologice abeliene si compacte e in dualitate cu categoria grupurilor abeliene –– aici functorul care face jocul este cel ce ia caracterele unui grup: anume functorul Hom_{Ab} ( -, R/Z). – daca stie cineva o referinta didactica buna pentru rezultat ii multumesc cu o stringere de mana virtuala🙂

Referat 4) (bonus pentru informaticieni teoretici): Teorema Lindenbaum-Tarski: Categoria algebrelor boolene atomice complete e in dualitate cu categoria Set.

Toate astea sunt exemple de echivalente  si care sunt teoreme celebre in matematica: ele nu pot fi predate la cursul de categorii pentru ca ar insemna sa nu mai fac nimic altceva pana la sfirsitul semestrului. Mi-ar trebui un curs de an de 4 ore saptaminal nu unul de semestru de trei ore. Nici nu am ajuns inca la ‘inima teoriei categoriilor’: limitele.

Noiembrie 5, 2008 - Posted by | Uncategorized

10 comentarii »

  1. Am vrut sa scriu solutii la cateva din problemele de pe lista 2, dar m-a prins chestia asta cu centrul lui Gr^f. Cred ca pot sa arat ca sunt numai cele doua transformari evidente: cea care e identitatea pe fiecare G, si cea care e morfismul trivial pe fiecare G (o sa le numesc identitate si transformarea triviala, respectiv).

    Acum sunt la o sala si nu mai stau, dar o sa revin cu detalii. Ideea e ca stim (rezulta din ce a aratat Dragos) ca pentru orice grup G exista un numar natural n (posibil sa fie diferiti pentru G diferiti) astfel incat morfismul G -> G dat de transformarea naturala e chiar x -> x^n. Vreau sa arat in primul rand ca daca am G -> G netrivial pentru un G (adica transformarea naturala nu e triviala), atunci transformarea trebuie de fapt sa fie echivalenta, deci fiecare G -> G e izo. Apoi ma uit la grupurile simetrice, unde stim ca fiecare izo e interior, si o sa rezulte imediat ca trebuie sa fie identitatea.

    Cum am zis, o sa revin cand am ceva mai mult timp. Sper sa nu fi facut o greseala pe aici.

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Noiembrie 6, 2008

  2. ar fi fain sa fie doar aceleasi transformai ca si in cazul Gr. Asteptam detalii🙂 si imi pare rau ca te-am deturnat de la lista 2 cu problema asta🙂

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 6, 2008

  3. PS: Aaa, daca faci problema aia atunci poti sa uiti de ‘lista 2′ – comitetu’ director a hotarit sa acordam 6 puncte pentru solutia la centrul categoriei grupurilor finite.🙂

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 6, 2008

  4. Pentru ca ma grabeam, am scris si prostii mai sus, dar neesentiale🙂. Scriu acum solutia.

    Consider o transformare naturala de la identitate la ea insasi in Gr^f. Ma uit acum la morfismele componente ale acestei transformari pentru grupul altern A_n. Un asemenea morfism e ori trivial, ori izo, pentru ca A_n e simplu (iau n mare, in general).

    Cazul I:

    Pentru toti A_n morfismul considerat A_n\to A_n e trivial. Atunci am terminat, adica transformarea e triviala. Asta pentru ca orice grup finit se scufunda intr-unul altern (exercitiu trivial pentru cititor :)).

    Cazul II:

    Exista n astfel incat A_n\to A_n sa fie izo. Atunci asta se intampla pentru orice grup altern, pentru ca acel A_n se scufunda in grupuri alterne mai mari (deci, pentru ca grupurile finite se scufunda in alterne, transformarea e echivalenta naturala de fapt). Dar noi stim cine sunt automorfismele grupurilor alterne: sunt exact conjugarile cu elemente din S_n (asta e o varianta a problemei clasice care zice ca orice automorfism al lui S_n,\ n\ne 6 e interior).

    Sa recapitulam: f:A_n\to A_n dat de transformarea naturala e automorfism indus de o permutare \sigma a multimii \overline{1,n}. Ce vreau eu sa arat acum e ca permutarea asta e identitatea (n va fi fixat in rationament, dar arbitrar). Atunci toate componentele A_n\to A_n ar fi identitatea, si deci, pentru ca orice grup se scufunda intr-unul altern, transformarea mea e identitatea.

    Pentru x\in S_n notez cu Fix(x) multimea elementelor din \overline{1,n} fixate de x. Pentru ca transformarea naturala imi da un automorfism al fiecarui grup finit, f:A_n\to A_n imi fixeaza toate subgrupurile (ca submultimi ale lui A_n; inca nu stiu ca le fixeaza punctual). Rezulta ca Fix(f(x))=Fix(x),\ \forall x\in A_n. Dar Fix(f(x))=\sigma(Fix(x)), deci \sigma invariaza toate multimile care sunt de forma $\latex Fix(x)$. De aici e evident ca \sigma e identitatea pe \overline{1,n}, pentru ca orice „singleton” i\in\overline{1,n} e intersectie de multimi de forma $\latex Fix(x)$ pentru anumiti x\in A_n.

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Noiembrie 7, 2008

  5. P.S.

    Postez eu pana la urma si pentru lista aia, ca ma incanta mai ales exemplul de categorie cu Ab3 dar fara Ab4 pe care l-am gasit.🙂

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Noiembrie 7, 2008

  6. Mama cum curge demostratia ca o bijuterie! Super faina.

    Cer o detaliere si un ajutor la ultimul paragraf (ultimele trei rinduri): am inteles totul🙂 pana la f (H) = H pentru orice subgrup in A_n. De aici e clar ca Fix (x) e continuta in Fix (f(x)), ca iau H subgrupul generat de x. De ce e adevarata si incluziunea pe dos? I.e. daca i e punct fix al lui f(x) de ce i e fixat si de x?

    Astept si exemplu ala de categorie fara AB4 si cu AB3..
    PS: apropo, chiar daca rezultatul asta cu centru lui Gr^f e cunoscut (nu l-am vazut pe nicaieri – dar o sa mai cautam) demostratia ta e sigur noua asa ca te sfatuiesc ca faci o mica nota cu ea ca are ceva ce place teribil si e publicabil intr-o revista curatica, gen AMM.

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 7, 2008

  7. PS, a da uitasem, m-am prins imediat dupa ce am postat: f e izo (ca uitasem) si atunci f(x) e generator in H:= subgrupul generat de x.

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 7, 2008

  8. Ultimul PS înseamnă ca nu trebuie să mai dau lămuriri suplimentare?🙂 Într-adevăr, f e izo, deci argumentul care spune că punctele fixate de x sunt fixate de f(x) se poate aplica si invers, cu f^{-1} în loc de f.

    O să mă mai interesez în legătură cu problema asta, să văd ce a făcut lumea, şi presupun că merge scrisă o notă micuţă..

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Noiembrie 8, 2008

  9. Buuuuuun. Care e rolul unui prof? sa furnizeze probleme care sa capteze intersul audientei as putea spune, nu? Eventual probleme pe care el nu stie sa le faca, ca de aia a ajuns prof. Vad ca v-am nimerit cu centru asta (Alex astept si exemplu ala cu Ab 4) ca m-ai facut curios). Cum mi-au placut f. mult solutiile voastre va laud. Dar sa nu vi se suie la cap trecem la pasul doi al cursului on-air.🙂

    Acuma profu’ devine nesuferit. Va strica jucariile si va strimba centru’. Adica va pune iar la munca (cu injuraturile de rigoare pe care le primesc – ca tot nu se aud pe blog🙂 din Grozavesti).

    Noua probleme mai generala: fixez G un grup finit ( si abelian in categoria lui Dragos) si iau functorul F: G x – : Gr^f –> Gr^f, (abeliene la Dragos) care lucreaza natural: F (X) = G x X si F (u) = Id_G x u. E un functor banalutz care e izomorf cu functorul identitate daca G e grupul trivial.

    Calculati Nat ( Id, F) si Nat (F, Id). Aici Id e functorul identitate pe categoriile respective. (evident pentru G = grupul trivial ele sunt centrul).

    Ce banuiesc: solutia lui Alex cred ca are sanse sa fie adaptata in noul context (cel putin pentru una din multimi) iar la Dragos cred ca ai nevoie de o constructie noua care sa iti generalizeze inelul de intregi p-adici care sa depinda natural (functorial) de grupul fixat G. Lucru care poate fi de inters in sine si sper sa duca la ceva super-fain.

    Exemple calculate de mine acum ca sa aveti un mici modele:

    1) daca in loc de Gr^f iau Set si cei doi functori aceiasi ca mai sus (dar in caterogira multimilor) atunci
    a) primul Nat este in bijectie cu multimea G.
    b) al doilea Nat e o multime singleton: singura transformare naturala e proiectia pe componenta a doua.
    N-am socotit dar sigur si in categoria tuturor grupurilor (nu doar cele finite) GR raspunsul e acelasi.

    2) Daca strimb centrul la categoria R-Mod (in aceiasi maniera ca mai sus) veti vedea joi la curs cea mai scurta demostratie la echivalenta Morita! O juma de pagina. Gata, incep teoremele la curs si nu se vor mai opri pana la sfirsit ca am scapat de introducerea plictisitoare a majoritatii conceptelor de care am nevoie.

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 8, 2008

  10. Dragos si Alex, eventualele solutii la problemele mai generale de mai sus (cea in care strimbam centrul) NU le mai postati pe blog sa nu patiti ceva naspa. Le discutam privat si daca aveti succes la ele le publicati.

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 10, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: