Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Un rezultat celebru: Teorema Popescu-Gabriel (tema de referat serios)

Un topic special pentru ceea ce eu cred ca este unul din cele mai tari rezultate in matematica demonstrate de un matematician roman: teorema Popescu-Gabriel. Multi matematicieni de afara cu care am discutat vorbeau in termeni superlativi (briliant, stralucitor, etc) de teorema asta. Articolul a aparut intr-un C.R. Paris in 1964. Domnul Nicolae Popescu a dat aceasta teorema cind era student. Am pregatit la curs aproape toate ingredientele necesare (ma refer la conceptele de baza in categorii mergind pana la definitia categoriei Grothendieck) sa cititi acest faimos rezultat mai putin functorii adjuncti pe care in voi preda luna aceasta. Pana atunci insa sa va propun ca tema de gindire si reflexie referatul care contine teorema aceasta celebra si astept (sper ca nu zadarnic!) oferta.

Teorema Popescu-Gabriel: Fie C o categoria Grothendieck, G un generator al sau, A := End_C (G) inelul de endomorfisme al lui G si F functorul reprezentabil F: Hom_C (G, -) : C \to {\cal M}_A. Aratati ca:

a) F are un adjunct la stinga T si T este functor exact.

b) T\circ F = 1_C (citeste izomorf natural cu functorul identitate). 

c) T induce o echivalenta de categorii intre C si o categorie cit a lui {\cal M}_A.

Bibliografie: N. Popescu, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, London, 1973. Exista simplificari ale demonstratiei originale date printre altii de doi mari algebristi: M. Takeuchi (ulterior a lucrat geometrie algebrica ca in final sa ajunga firesc la algebre Hopf) si Barry Mitchell. Mersi lui Dragos Fratila pentru referintele de mai jos (cine doreste articolele sa ma contacteze pe mail):

1. M. Takeuchi, A Simple Proof of Gabriel and Popesco’s Theorem, J. Algebra, 18(1971), 112-113.

2. B. Mitchell, A QUICK PROOF OF THE GABRIEL-POPESC0 THEOREM, J. Pure Appl. Algebra, 20(1981), 313-315.

Noiembrie 3, 2008 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: