Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Categorii probleme: solutii lista 1. Lista 2 & o chestiune cu generatori

Problemele din prima lista le stiti de aici https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/10/10/categorii-lista-1-de-probleme/ . Tot acolo, la comentarii, puteti citi postate solutii la citeva dintre ele date de Alex Chirvasitu. Solutiile date de Ana Agore sunt in fisierul de aici https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2008/11/tema_1.pdf Costel Bontea mi-a dat joi solutii pe foi scrise de mana la problemele 2, 4 si 8. Punctajele pana acum din problemele din lista 1: Alex Chirvasitu: 8 puncte. Ana Agore: 8 puncte. Costel Bontea: 4 puncte

Punctaje din referate: din pacate pana acum nu avem decit un sigur referat facut😦 desi am propus destule teme: Ana Agore (teorema lui Gabriel) 5 puncte  va fi expus si la curs ca exemplu interesant de echivalenta de categorii. Astept in continuare si alti studenti sa se ofere sa faca referate din temele propuse. Lista 1 de probleme e inchisa asa cum am spus (adica nu mai primesc solutii la probleme din lista care sa fie punctate dar unele din problemele de acolo – cele de functori care au fost predati doar la ultimul curs de joi vor fi mutate in lista 2). Scopul este acela de a va discplina sa invatati in timp, pe tot parcursul anului, nu la plesenala si la repezeala in sesiune in citeva zile ca sa le uitati tot in citeva zile. In viata cind ai un termen limita trebuie sa il respectam si sa nu venim cu chestii romanesti („hai sa mai prelungim” etc). George Bergman cerea studentilor sai de la curs ca in fiecare zi acestia sa ii dea cite o solutie la o problema sau sa ii puna o intrebare pe mail din cursul pe care tot ei trebuiau sa il citeasca.

Lista 2 de probleme este atasata la https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2008/11/tcprobleme2.pdf Din aceasta lista de probleme astept solutii pana la 1 decembrie 2008 (nu mai prelungim teremenul pentru lista asta – vor fi in total probabil 4 liste de probleme). Cum luna asta am sa mai adaug inca o lista de probleme un student poate sa obtina maxim 6 puncte din lista 2 chiar daca face mai multe probleme asa cum va recomand. Puteti posta solutiile pe blog sau puteti sa imi trimiteti mie fisier .pdf pe care o sa il postez eu ulterior. Nu mai primesc solutii scrie pe foi de hirtie din motive ecologice pentru a proteja padurile.

Problema suplimentara (de x puncte): „Toata lumea” si in mai toate cartile sunt definiti generatorii asa cum i-am definit joi la curs: Un obiect G se numeste generator pentru o categorie C daca functorul Hom_C (G, – ) : C –> Set e fidel. Toata lumea … mai putin Kashiwara si Schapira :) –  in cartea lor de „categorii si fascicule” se ocupa de ei intr-un paragraf special incepind cu pagina 117. Ei bine KS ii definesc diferit, derutant si tare provocator asa: (KS) „G se numeste generator daca functorul Hom_C (G, – ) : C –> Set reflecta izomorfismele”. Ei arata in Prop. 5.2.4 (pagina 119) ca cele doua definitii de generator coincid in cazul in care C e o categorie in care orice mon si epi este izomorfism si C are limite proiective finite si sume directe finite. (*) In fapt conditiile lor (suficiente dar nu si necesare!) sunt un pic prea tari pentru ce am nevoie: conceptul de generator vindut cu cele doua definitii distincte e acelasi atunci cind functorii fideli coincid cu cei conservativi. Si asta se intimpla, ca si conditie suficienta, in conditiii mai slabe (descoperiti care sunt!).  

Probleme concrete: 1) Exista un exemplu de categorie in care cele doua definitii pentru notiunea de generator nu coincid? (*) Intuiesc ca in general ele nu coincid. Sa ne uitam la Rings? (aici epimorfismul si monomorfismul Z –> Q nu e izo deci poate avem sanse de un exemplu). O fi Z generator si in sensul definitiei lui KS?    

2) Se pot descrie complet categoriile C a.i. clasa functorilor fideli F: C –> Set sa coincida cu clasa functorilor conservativi (functorii ce reflecta izomorfismele)?

(*) Cel mai bun raspuns pe care il am azi, diferit fata de conditiile lui Kashiwara si Schapira, legat de cele doua definitii diferite pentru notiunea de generator este urmatorul:

Propozitie: Fie C o categorie preaditiva care satisface axiomele AB1) si AB2). Atunci G e generator in sens clasic (asa cum l-am definit si noi) daca si numai daca G e generator in sens Kashiwara si Schapira.

Ce se intimpla insa in general? Naiba stie🙂

Noiembrie 1, 2008 - Posted by | Uncategorized

2 comentarii »

  1. Voi scrie soluţii pentru mai multe probleme din Lista 2, dar deocamdată numai pentru una (din nou, lipsă de timp.. :)):

    Problema 8

    Să se dea exemplu de categorie Ab3 care nu e Ab4.

    Pe scurt, categoria va fi duala categoriei Ab_t a grupurilor abeliene de torsiune. Cu alte cuvinte, trebuie să arăt că Ab_t e Ab3* dar nu Ab4*.

    Ab_t e categorie abeliană nu mai verific. Pentru Ab3* trebuie construit produsul direct. Pentru o familie de grupuri de torsiune A_i, el va fi torsiunea grupului \prod_iA_i. Asta fie se verifică direct, fie se face “formal”, folosind faptul că Ab_t e coreflectivă în Ab, iar functorul de torsiune T e adjunct la dreapta al functorului incluziune Ab_t\to Ab, şi adjuncţii la dreapta conservă limitele.

    Îmi fixez acum un număr prim p. Pentru fiecare număr natural n consider morfismul f_n:Z/p^{n+1}Z\to Z/pZ dat de înmulţirea cu p^n. Evident, aceste morfisme sunt epi (în Ab_t epi e totuna cu morfism surjectiv, după cum se poate vedea foarte uşor). Acum fac produsul direct după n natural, şi presupun că produsul direct \prod_n f_n e epi. Atunci există un element de torsiune (x_n)_n\in\prod_n(Z/p^{n+1}Z) astfel încât f_n(x_n)=1\in Z/pZ,\ \forall n. Dar atunci, din definiţia morfismelor f_n,\ x_n trebuie să genereze grupul Z/p^{n+1}Z, de unde rezultă că (x_n)_n nu e de torsiune; am obţinut contradicţia dorită.

    Observaţie:

    Teorema de Dualitate a lui Pontryagin (mentionată şi altundeva pe blog, cred) şi nişte argumente simple de natură topologică spun de fapt cine e categoria asta, adică pot să o descriu şi altfel decât pur şi simplu ca pe duala unei categorii cunoscute: ea e categoria grupurilor compacte abeliene şi total neconexe; altă descriere: grupurile profinite abeliene. Sună frumos, nu?🙂

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Noiembrie 8, 2008

  2. „ea e categoria grupurilor compacte abeliene şi total neconexe; altă descriere: grupurile profinite abeliene. Sună frumos, nu”

    foarte frumos. ca si contraexemplu tau. Solutii mai postezi din lista 2 doar daca ai timp si placere pentru a invata si altii din ce scri tu. ai depasit de mult punctajul la ea centrul Gr^f

    Comentariu de gigelmilitaru | Noiembrie 9, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: