Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Curs 5. O problema mai vasta de studiu

Curs 5. Rezumatul cursului de joi 30.10.2008 

1) Aplicatii ale coegalizatorilor: Cirezi vs grupuri. (*) 2) Categorii abeliene. 3) Axiomele AB4), AB5). 4) (Co)Generatori: exemple in categorii standard. 5) Categorii Grothendieck. 6) Functori. Clase speciale de functori (fideli, fuli, esential surjectivi, scufundari, aditivi, exacti, etc) si exemple generale de functori si proprietati. 7) Teorema Cayley (orice categoria mica este categorie concreta ). 8 ) Spectacole cu functori: functori vs diverse concepte in matematica (functii (des)crescatoare intre poset-uri, morfisme de monoizi/grupuri, actiuni de grupuri pe multimi, reprezentari de grupuri, multimi sau obiecte simpliciale etc etc. – toate astea sunt cazuri speciale de exemple (casi)triviale de … functori – Doar stim acuma vorba din batrini: „categoriile si functorii sunt peste tot” ). 9) Plan vast de cercetare.

(*) Cirezi = Herds au fost definite prin anii 20 in geometria diferentiala: anul asta au fost scoase de la naftalina, desfrafuite si formulate in context pur algebric de catre Tom si Jost care au dat cu ele spectacolele de la  http://xxx.lanl.gov/abs/0805.2510   

Doua propuneri de referate:

1) Generatori si cogeneratorii in categorii uzuale. (5 puncte) Bibliografie pentru referat: „On generators and cogenerators” al lui Moss Sweedler si Bodo Pareigis, Manuscripta Mathematica, 2 (1970).  Cine doreste sa il faca sa ma contacteze pe mail sa ii trimit articolul electronic. E unul deosebit de frumos: printre altelele arata ca categoria de algebre Lie, Hopf, etc nu au cogeneratori.

2) Grupoidul liber generat de un graf. (5 puncte) Fie Grupoid categoria grupoizilor si Graf categoria grafurilor orientate (i.e. a 4-uplelor (X, P, s, t) unde S si P sunt multimi si s, t: X –> P sunt doua functii cu morfismele intre grafuri definite natural: prerechi de functii ce respecta sursa si target-ul). Aratati ca functorul uituc

U: Grupoids –> Graf,  U (X, P, s, t, m, epsilon, i) := (X, P, s, t)

are un adjunct la stinga (grupoidul liber generat de un graf – in cazul in care P e singleton atunci recuperati constructia grupului liber generat de o multime ca si caz special).

Din ciclul parlamentarei Irina Loghin („votam legi si chestii grele”, spunea ea intrebata fiind ce face pe acolo pe la Parlament), dupa ce va luminez un pic cu exemplele de mai sus, e momentul sa pun pe tabla si pe blog o chestie mai serioasa:

Plan de cercetare: Fie C = (X, P, s, t, …) un grupoid si k un corp. Se numeste actiune a lui C pe multimi un functor covariant F: C–> Set. Se numeste reprezentare liniara a lui C un functor covariant F: C –> Vec_k, categoria spatiilor vectoriale peste k.

Exercitiu de incalzire: Explicitati in limbaj de functii si compatibilitati ce inseamna fiecare din aceste doua concepte. (2 puncte)

Planu’:  Generalizati rezultatele din teoria actiunilor de grupuri pe multimi (respectiv din teoria reprezentarilor de grupuri) in noul context al actiunilor de grupoizi si al reprezentarilor de grupoizi. Sigur asta e o tema de lucru pentru decenii (de impliniri maretze!). Desigur cele care nu s-au facut pana acum.

Aversimentu’: Cititorii blogului, altii decit studentii enervant de studiosi de la curs, care ataca si musca din problemele de mai sus si s-au inspirat de aici (daca nu au vazut definitiile prin alta parte – si s-ar putea sa nu le fi vazut!) sper sa nu uite sa citeze acest blog (evident exceptional🙂 ) ca sursa de inspiratie si transpiratie. Ca ma supar. Si daca ma supar fac urit.

Octombrie 27, 2008 - Posted by | Uncategorized

4 comentarii »

  1. Off-topic dar problema e draguta. Am facut data trecuta suma si produsul direct. Produsul tensorial de module il stim si mai stim ca el comuta cu sumele directe!

    Exercitiu: dati un exemplu prin care sa aratati ca produsul tensiorial NU comuta cu produsele directe.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 29, 2008

  2. M = \prod_p(Z/pZ)
    Q \otimes M \neq 0
    dar
    \prod_p(Q\otimes Z/pZ)=0

    Comentariu de student | Octombrie 29, 2008

  3. Kooooorectttt! Acuma vin si intreb:
    de ce Q \otimes M \neq 0 ? Poti detalia aici?

    Ca al doilea e clar de ce e nenul: un produs tensorial intre un divizibil si unul finit e tot timpul nul.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 29, 2008

  4. Consider N=(1,1,….)Z submodul in M. Este liber de rang 1.
    Atunci Q\otimes N este inclus in Q\otimes M (pentru ca Q este Z-modul plat) si Q\otimes N este nenul.

    Comentariu de student | Octombrie 29, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: