Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Curs 4: categoria corpurilor. Alte teme de referate

Curs 4. Rezumatul cursului de joi 23.10.2008 

1) Concepte de baza in categorii (2): subobiecte, obiecte factor; (co)produse ca obiecte finale (initiale); produse/sume fibrate; (co)egalizatori; (co)nuclee; Propietati ale acestor concepte si exemple standard. (*) 3) Axiomele AB1), AB2) si descompunerea canonica a unui morfism.

(*) Vom arata in detaliu ce se intimpla in cele trei categorii model la care vom face adesea apel si anume Set, Gr, _R {\cal M} cu aceste concepte de baza (– daca exista sau nu – mai putin faptul ca Gr are sume directe – care e una din temele de referat de mai jos – mi-ar lua cel putin un curs sa arat doar acest lucru). S-ar putea sa imi ia ceva timp asta mai ales cand ma gindesc cite diagrame am de desenat maine😦 si cit timp pierzi sa scri toatea astea…

––––––

Categoria corpurilor (o notez cu Fields) si a morfismelor de corpuri pare una extrem de interesanta: prin ea putine concepte categoricale par sa existe. Mai inti in aceasta categorie orice morfism e monomorfism (iata un alt tip interesant de categorie mai generala decit grupoizii: categoriile in care orice morfism e monomorfism sau epimorfism). Asa ca merita sa ne uitam un pic la ea.

Exercitiu de 2 puncte:

a) Cum arata epimorfismele in Fields? E adevarat ca orie epimorfism e izomorfism?

b) Aratati ca Fields nu are produse si nici sume directe. Are egalizatori, coegalizatori? Dar daca iau doar categoria corpurilor de caracteristica zero?

c) Este Fields o categorie preaditiva?

Tema de referat legat de primul punct. Un rezultat frumos si dragutz de caracterizare a epimorfismelor in categoria Rings (stim acum vechiul exemplu de anul I ca incluziunea Z in Q e epimorfism care nu e surjectiv) a inelelor este urmatoarea teorema.

Teorema: Fie f : R \to S un morfism de inele si f^* functorul de restrictie a scalarilor de la categoria de S-module drepte la categoria de R-module drepte. Aratati ca f e epimorfism in categoria inelelor daca si numai daca f^* este un functor full.

Alt referat:

Teorema: Categoria Gr a grupurilor este categorie AB3 (i.e. exista coproduse arbitrare). (Bibliografie: J.J. Rotman, An introduction to the theory of groups, th. 11. 51, pag 389)

Alt referat: Teorema de caracterizare a (co)generatorilor pentru categoria de R-module. Am sa o enunt la curs ca aici imi ia timp mai mult.

Alt referat: Studiul sumelor directe (finite, arbitrare) in categoriile Rings, k-Alg, R-Rings. Descrierea lor. Comentariu confuzant: legat de sume directe in Rings Alex Chirvasitu mi-a trimis odata un fisier (nu stiu daca il mai gasesc) in care arata ca ele exista, dar un coprodus de inele poate fi si … inelul nul. Acum avem o problema daca in Rings acceptam sau nu inelul nul (inelul in care 1 = 0 ca de regula prin inel intelegem unul in care unitate nu este zero). G. Bergman zice in carte sa ca Rings are coproduse dar nu le contruieste ci in loc da asta da argumentul sec „Rings are coproduse … by the usual general nonsense„.🙂 Argumentul asta m-a dat gata! In cartea [D. Stefan, Algebre necomutative formal netede, pag. 72] este construit coprodusul a doua k-algebre, numit produsul liber de algebre (i.e. k-Alg are sume directe finite). O carte a lui P.M. Cohn (dar nu mai stiu titlul, o am pe undeva pe aici) contruieste coprodusul in categoria R-Rings. G. Bergman are un articol de tinerete in care studiaza modulele peste coproduse de inele. E asta:

G. Bergman: Modules over coproducts of rings, Trans. AMS, 200(1979), 1–39.

Octombrie 20, 2008 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: