Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Categorii: Curs 3, grupoizi, nou referat, lista 1 de probleme

Curs 3. Rezumatul cursului de joi 16.10.2008 

1) Obiecte initiale/finale/zero intr-o categorie. Exemple. Numerele naturale intr-o noua prezentare (categoricala): dupa Lawvere. 2) Alte exemple (non)standard de categorii: algebre, coalgebre, coringuri (what4?). 3) Grupoizi si algebra grupoidala (exemple): group bundles vs grupoizi.

Comentariu roz-bombon: Nu stiu cit o sa apuc sa predau in trei ore din ce imi propun (ce ramine vom face data viitoare). Din punct de vedere didactic cursul va evidentia pentru prima data in clar rolul acelei „Metateoreme” numita in teoria categoriile „Principiul general al dualitatii” (cel putin asa o numeste Grillet in cartea lui) cand o data introdus un concept „P” sau cind e data o teorema „T” daca intoarcem toate sagetile obtinem conceptul dual (notat  cu „CoP„) sau teorema duala (notata „coT„). Acesta e unul din jocurile perfide care din pacate s-a practicat la scara larga intre algebre si coalgebre: „metateorema” de mai sus a stat la baza a sute de „articole” antistiintifice de ‘dualizari’ mecanice sinistre de rezultate de la algebre si module la coalgebre si comodule. Pe scrut: s-a scris o gramada de borhot stiintific intorcind sageti ca la balamuc. Sahn Majid chiar a simtit nevoia sa ia pozitie si a scris pentru arXiv un articol pe la jumate anilor 90 in care ruga comunitatea stiintifica ca revistele sa nu mai accepte astfel de articole antistiintifice scrise chiar de nume insemnate. Btw, si eu am un articol in colaborare de tinerete, scris in 3-4 zile, in care am … intors sageti la secunda🙂 si pe vremea aia a naivitatii mele in stare pura credeam ca produceam stiinta. E maculatura pura si din pacate e multa in stiinta actuala.  Dupa apelul just al lui Majid unii oameni au inceput sa se protejeze impotriva „dualizatorilor de profesie„: cind scriu un articol fac la el un Appendix in care enunta, fara demostratie ca se stiu ca sunt banale doar intorcind sagetile, toate rezultatele duale ca sa nu mai apara unii sa le dualizeze si sa scrie alt articol pe munca lor. Dupa articolul lui Majid eu am renuntat la dualizari ca nu vroioam sa pacalesc lumea care nu stie despre ce e vorba ca am articole multe.

Referinte suplimentare despre grupozi si propunere de un nou referat.

1. P. J. Higgins, Categories and Groupoids, 1971. Carte disponibila free pe site-ul TAC (il gaisti la link-urile mele).

2. R. Brown, From groups to groupoids, Bull. London Math. Soc. 19 (1987), 113–134.

3) A. Weinstein, Groupoids: unifying …..” Notices AMS 43 (1996), 744-752.

4) K. Mackenzie, Double Lie algebroids and second order geometry, Adv. Math. 94 (1992), 180-239.

5) http://xxx.lanl.gov/abs/math/0602497 – The structure of double groupoids, Authors: Nicolás Andruskiewitsch, Sonia Natale

6) http://xxx.lanl.gov/abs/math/0402118, Representations of matched pairs of groupoids and applications to weak Hopf algebras, Authors: Marcelo Aguiar, Nicolas Andruskiewitsch

7) http://xxx.lanl.gov/abs/0710.3426, Some remarks on groupoids and small categories, Authors: Chi-Keung Ng

8 ) http://xxx.lanl.gov/abs/0704.2592, A groupoid approach to noncommutative T-duality. Authors: Calder Daenzer

TEMA de referat (5 puncte): Articolul 7) al lui Ng la link-ul de mai sus. In referat aveti de aratat doua lucuri: a da un grupoid este echivalent cu a da un group bundle peste o relatie de echivalenta si constructia produsului semidirect de groupozi. (v-am lasat saptamina trecuta ca problema de studiu constructia produsului crossed intre grupoizi: iata ce va cer ar trebui sa generalizeze pe cea a lui Ng). Studentul care face referatul va trebui sa il expuna la Seminarul Stiintific Studentesc care incepe tot joi de la ora 14. Sper sa nu il faca varza sau sa il umple de singe ca ma enervez! Ma enervez si daca copiaza ca Suca fara sa priceapa nimic din el. :) Cine se ofera la acest al doilea referat in conditiile astea? :):) Pe primul (teorema Gabriel) l-a facut Ana (si o sa o rog sa il expuna la curs cind o sa facem echivalente). Costelinio,🙂  Alex, Dragos va tenteaza ce zice Ng si sa o luati ca referat?

Lista 1 de probleme o gasiti aici: https://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2008/10/tcprobleme1.pdf Succes!

Reguli Importante: Din aceasta prima lista de probleme un singur student nu poate culege decit maxim 8 puncte. Pentru a da ocazia cit mai multor studenti sa rezolve probleme si pentru  ca un student sa nu adune maxim 30 de puncte din „prima”. Doar pana la 1 noiembrie 2008 puteti lua puncte din lista 1 de probleme. Eventualele solutii trimise de voi (pe blog, pe mail si in ultima insanta pe foi sa mi le dati la curs daca nu vreti sa le bateti la calculator) vor sta la mine pana atunci. Pe 1 noiembrie le public pe blog (cele pe care le trimiteti electronic) si tragem linie sa decid cine cite puncte a cules din prima lista de probleme. Solutii dupa 1 noiembrie la probleme din lista 1 nu se vor mai puncta. Vor fi si alte liste de probleme: una pe luna. Pana in 1 noiembrie in mod sigur am sa adaug pe lista si alte probleme cind am timp sa le bat.

Octombrie 10, 2008 - Posted by | Uncategorized

4 comentarii »

  1. Rezolv câteva, că nu ştiu cât de des o să vin pe la curs şi nu strică nişte puncte🙂.

    Problema 3

    Exemplu de categorie concretă în care morfismele mono nu sunt injective: obiectele vor fi mulţimi punctate (adică fiecare astfel de mulţime are un punct distins), iar morfismele de la o mulţime punctată (A,a) la una (B,b) vor consta numai din aplicaţia constantă b. E clar că toate morfismele sunt mono, dar multe din ele nu sunt injective.

    Cât despre faptul că \pi:\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z e mono în categoria grupurilor abeliene divizibile, fie f:G\to\mathbb Q un morfism de grupuri dvizibile cu proprietatea că \pi\circ f=0. Asta înseamnă că imaginea lui f stă în nucleul lui \pi, adică $latex\mathbb Z$. Dar imaginea unui grup divizibil printr-un morfism e grup divizibil (mai general: imaginile de injective peste un inel ereditar sunt injective), pe când $latex\mathbb Z$ e redus; rezultă deci f=0, şi am terminat.

    Problema 6

    Gr nu e preaditivă.

    Dacă ar fi, produsele directe ar fi aşa numite „biproduse”, adică ar fi simultan şi sume directe. Dar produsul direct a două copii ale lui $latex\mathbb Z$ e abelian, pe când suma lor directă e grupul liber cu doi generatori, deci neabelian.

    Problemele 8 si 11 (ideea e aceeaşi)

    Categoria grupurilor (modulelor peste un inel fixat) simple nu are sume/produse şi nici sume/produse fibrate.

    Afirmaţia se reduce la sume şi produse, pentru că astea sunt cazuri particulare de sume şi respectiv produse fibrate peste obiectul trivial (grup sau modul; în ambele cazuri e simplu, deci stă în categoria noastră). Deci e suficient să arătăm că nu sunt sume/produse.

    Fie A un obiect simplu netrivial (orice inel are module simple stângi netriviale; de exemplu câtul printr-un ideal stâng maximal). Fie P produsul lui A cu el însuşi. E clar din definiţia produsului şi din faptul că am morfisme nenule A\to A că ambele morfisme structurale P\to A sunt netriviale şi deci mono. Dar atunci dacă trimit $\latex A$ prin morfismul trivial într-unul din factori şi prin identitate în al doilea factor, nu va exista nici un morfism A\to P care să facă totul comutativ.

    Fie acum S suma lui A cu el însuşi. Un argument analog celui de mai sus arată că morfismele structurale A\to S sunt mono. Din nou (sau mai precis analog), trimit cei doi sumanzi în A prin morfismul trivial şi prin identitate. Asta va induce un morfism netrivial dar neinjectiv S\to A, ceea ce contrazice faptul că S e simplu.

    Încă una de rezervă, în caz că am greşit ceva pe aici🙂.

    Problema 22 se poate reformula aşa:

    Fiind dat un functor covariant $latex\mathcal F$ pe categoria mulţimilor finite, cardinalul lui $latex\mathcal F(X)$ depinde doar de cardinalul lui X.

    Asta e perfect valabil pentru orice subcategorie plină a lui $Set$ (pot să lucrez şi cu numere cardinale infinite). Cardinalul într-o astfel de categorie depinde doar de clasa de izomorfism a obiectului, şi un functor trimite obiecte izomorfe în obiecte izomorfe.

    Sigur, în enunţ se zicea şi ceva despre unicitatea funcţiei f definită pe numere naturale, dar unicitatea e clară din faptul că există mulţimi finite cu orice număr de elemente.

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Octombrie 10, 2008

  2. Alex Chirvasitu a trimis deja o prima lista de solutii la citeva din problemele propuse insa asa cum a propus Cezar Lupu la primul curs posturile cu solutii vor fi moderate de mine si le dau drumul pe 1 noiembrie pentru ca si alti studenti sa rezolve din probleme.

    Lui Alex ii cer sa dea mai multe detalii la problema 6) (de ce intr-o categorie preaditiva produsele directe finite sunt si sume directe?).

    Exemplu pe care il dai de categorie concreta (i.e. cu functor fidel din ea in Set) e un pic „discutabil” ca parca categoria respectiva nu este chiar subcategorie in Set in sensul strict al definitiei – are un functor uituc in Set.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 11, 2008

  3. Pentru 6 (nu am scris detalii pentru că LaTeX-ul e un pic incomod aici🙂 ):

    Fie A_1,A_2 obiecte într0o categorie preaditivă, şi fie P produsul lor. O să am morfisme structurale \pi_j de la P la A_j respectiv. Cum multimile Hom sunt grupuri abeliene şi compunerea e biliniară, are sens să vorbesc despre morfismul nul între oricare două obiecte.

    Acum, trimiţând A_1 prin morfismul nul în A_2 şi prin identitate în A_1, obţin (din universalitatea produsului) o săgeată i_1:A_1\to P. Analog obţin i_2:A_2\to P. Se observă din universalitatea produsului că morfismul i_1\circ\pi_1+i_2\circ\pi_2:P\to P trebuie să fie identitatea. Vreau acum să arăt că i_j fac din P suma directă a obiectelor A_j.

    Fie morfismele f_j:A_j\to X pentru un obiect X. Fie acum f:P\to A dat de f=f_1\circ\pi_1+f_2\circ\pi_2. Atunci f\circ i_1=f_1 pentru că \pi_1\circ i_1=1_{A_1},\pi_2\circ i_1=0 din însăşi definiţia i-urilor, şi analog f\circ i_2=f_2. Deci există f:P\to X care face diagrama potrivită comutativă. Cât despre unicitatea unui asemenea morfism f, compun identităţile f\circ i_j=f_j respectiv cu $\pi_j$ şi adun. Din observaţia precedentă că i_1\circ\pi_1+i_2\circ\pi_2=1_P rezultă identitatea dorită f=f_1\circ\pi_1+f_2\circ\pi_2.

    În ceea ce priveste cealaltă problemă, cred că pur şi simplu m-am exprimat eu greşit. Nu era nevoie să mă refer la obiectele alea ca fiind „mulţimi punctate”, că se înţelege poate că am o categorie su mai multă „structură” decât Set. Sunt pur şi simplu mulţimi, şi permit să existe numai morfisme constante între două astfel de mulţimi diferite (constante la anumite puncte, unul pentru fiecare mulţime, pe care mi le-am ales dinainte). Obiectele sunt mulţimi, morfismele sunt aplicaţii între mulţimi, compunerea e compunerea obişnuită, etc. Deci e într-adevăr subcategorie în Set.

    Un exemplu mai simplu decât ăsta nu pot să-mi imaginez: categoria are ca obiecte mulţimile 2,1 (adică două mulţimi, cu două şi respectiv un element). Morfismele sunt identităţile şi morfismul unic 2\to 1. Evident, acesta din urmă e mono (nu se compune la stânga decât cu identitatea lui 2) dar nu injectiv.

    Comentariu de Chirvasitu Alexandru | Octombrie 11, 2008

  4. Info: ok, Alex a revenit cu detalii si o sa le cititi si voi dupa 1 noiembrie. Ana a trimis si ea un fisier .pdf cu solutii la 5 probleme (si pe el o sa il postez dupa aceiasi data).

    Chiar stie cineva sa imi dicteze comenzile ca la prosti cum se posteaza mai usor un fisier .pdf pe blog? Ca ce am patit eu pe aici pana am postat pe ala!

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 12, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: