Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Categorii: Curs 2 si doua teme de cercetare studentesti

Curs 2. Rezumatul cursului de joi 9.10.2007 

1) Definitia categoriilor. Primele exemple de categorii: Set si multiplele sale „rude”. Prima tema de cercetare: obiecte prime intr-o categorie. 2) Concepte de baza in categorii (1): subcategorie, mono/epi/izo/morfisme, duala unei categorii. Metateorema: principiul general al dualitatii. Produs direct de categorii. Categorii preaditive. 3) Parametrizarea categoriilor mici. Grupoizi. A doua tema de cercetare pentru studenti: produs crossed de grupoizi.

Acum sa dam detalii despre primele doua teme de cercetare studentesti pe care vi le las.

I. La primul curs de TC Cristian Popa m-a intrebat daca categorii au vreo legatura cu … teoria numerelor (ce a facut el la licenta probabil si care natual si firesc i se par cele mai minunate lucruri din lume). I-am raspuns ca … evident ca au si cu teoria numerelor (orice problema serioasa de matematica e una de teoria categoriilor🙂 – asta vine de la Grothendieck)  si l-am trimis la cartea lui Bergman care dedica un paragraf generos acestui aspekt (numerele p-adice si niste adjunctii sau limite directe/inverse pe acolo – probabil ca am sa o dau ca referat). M-a pus pe ginduri intrebarea aia si acum in dimineata asta semi-insorita mi-a trecut prin cap o trasnaie legat de ea. Am sa dau acum o alta „legatura”. Incerc sa definesc o nebunie🙂 – notiunea de element prim intr-o categorie (nu stiu daca exista sau nu conceptul – vreau sa definesc ceva care sa generalizeze numerele prime, sa le priveasca ca pe ceva … categorical si cred ca am reusit sa fac asta). Ce definesc mai jos are sens, generalizeaza conceptul de numar prim si ar fi super fain daca e definitia asta ar produce o teorie bogata. Daca nu, o schimbam sa produca🙂 In fond asta e matematica: joaca si tatonare.

Definitie: Fie C o categorie mica cu obiect initial I (Oooo, aveti radare ca o sa aflati ce e asta joi). Un obiect P al sau se numeste obiect prim daca Hom_C (X, P) este o multime vida oricare ar fi X diferit de I si de P iar Hom_C (P, P) e o multime cu un singur element.

Exemplu care sa justifice definitia mea abracadabranta: fie N^* multimea numerelor naturale nenule cu relatia de ordine de divizibilitate si PO (N) categoria mica asociata acestui pre-order (oooo deee ce va grabiti – veti afla joi cum se defineste). Atunci p e obiect prim in categoria PO (N) in sensul definitiei de mai sus daca si numai daca p e numar prim.

Tema de cercetare propriu-zisa: Studiati obiectele prime in categorii mici (sau unele si mai speciale – cum ar fi pre-order-urile de exemplu) si incercati sa dati cu ele aceleasi spectacole care se dau cu numerele prime!

Desigur pentru inceput ar trebui sa definim analogul relatiei de divizibilitate intr-o categorie din asta si apoi sa vedem cum s-ar traduce in termeni categoricali teorema fundamentala a aritmeticii…Mai trebuie aranjat un pic sa vedem si ce ar fi aia ‘putere de numar prim’ exprimat categorical, etc.

II) A doua tema de cercetare am scris-o pe topicul celalalt. O reiau si aici ca e on-topic cu ce predau joi. Tema: vreau constructia produsului crossed pentru grupoizi care sa il extinda pe cel de la grupuri … daca cel ce o face demostreaza toate teoremele produsului crossed clasic de la grupuri (aveti pe aici un post despre the extension problem) — poate sa nu mai vina la examen. Primeste nota 10 direct + (bonus pentru el/ea) va scrie un articol de mate. De grupoizi. Am sa detaliez tema asta cind o sa am timp.

PS: cititi si avertismentul ala din coltul din dreapta sus! Cel ce studiaza problema si o face cu succes si nu citeaza blog-ul asta exceptional ca sursa a problemei ma va supara. Si nu vreti sa stiti cum fac (unii stiu) cand ma supar.

Octombrie 7, 2008 - Posted by | Uncategorized

1 comentariu »

  1. Una isi propune omul acasa (adica pe blog :)) si alta iese cind trebuie sa scri la tabla in stare de gripa. In fine, desi i-am cam chinuit pe studenti (au avut doar o singura pauza de 10 minute) nu am mai apucat sa fac chestiile astea cu care o sa incep data viitoare:

    „3) Obiecte initiale/finale/zero intr-o categorie. Exemple. Numerele naturale intr-o noua prezentare (categoricala): dupa Lawvere. 4) Alte exemple (non)standard de categorii.”

    –––
    Am primit de la Ana solutia la problema aia pe care am lasat-o la cursul I (produsul Bair de extinderi – e o gramada de corectat :(:( ) si referat la teorema aia a lui Gabriel anuntat pe blog.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 9, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: