Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Teoria Categoriilor: syllabus, referinte. Curs 1

Curs 1. Rezumatul cursului de incalzire.
0) Regula jocului, bibliografie, syllabus, etc.
1) Unde si de ce au aparut prima data categoriile, functorii, transformarile naturale. The extension problem.
2) Ce este o clasa? Ce este un univers? Axioma universurilor (Grothendieck).
3) De ce Teoria Categoriilor? Motivatii: monoid, grup, co-monoid, co-grup (prin diverse categorii).
–––––––––––––––––––––––––-
Ce contine teoria asta a categoriilor? Un rezumat (in fapt o mica parte a ei: definitii si exemple) il puteti lectura aici
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=IndexOfCategoryTheory 
Va mai puteti distra cu aceste concepte citind si http://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)  sau http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory . Un articol foarte interesant ce vizeaza interactiunea dintre teoria multimilor si teoria categoriilor poate fi citit aici http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/interact.pdf Despre „universuri” si „cardinale inaccesibile” va puteti amuza aici http://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe Un articol foarte interesant al lui J. Baez si J. Dolan numit „Categorification” gasiti aici http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9802/9802029v1.pdf care are si o lista bibliografica generoasa despre n-categorii.
––––––––––––––––––––––––––
De ce? Pe linga cursul la tabla predat studentilor anului I de Master le ofer in acest loc un ‘suplement de curs’. Unul on-air facut sa va ajute. O fac cu placere (desi imi ia timp suplimentar) pentru studenti si o mai fac si din motive … de tristete si nostalgie. Anul asta e ultimul an in care se preda cursul de „teoria categoriilor” la un master in FMI fiind scos din programa noului master intr-un mod pe care nu il mai comentez ca am facut-o pe celalalt blog. E suficient sa dati un search pe mathsci net sa vedeti cit se scrie azi in teoria categoriilor in lume si in ce domenii (incepind cu fizica si sfirsind cu computer science) si va convingeti singuri de grava gresala comisa. Din acest motiv suportul de cursul il pun si on-air: poate peste ani cineva poate folosi acest suport de la ultimul curs de categorii care s-a predat de la un program de master in FMI. Daca il ajuta fie si cu 1% inseamna ca mi-am atins scopul si munca mea de acum nu a fost zadarnica.

Ce veti gasi aici? Rezumatul fiecaruri curs pe care il predau la tabla, comentarii pe diverse teme din teoria categoriilor si periodic liste de probleme pe care sa le rezolvati voi studentii (fiind profesor evident ca nu mai stiu sa rezolv probleme – asa ca vi le las voua cu placere).

Syllabus-ul cursului. Va lua nota 10 studentul care aduna 30 de puncte. Ele pot fi culese direct in examenul scris din sesiune  unde veti primi o lista mai lunga de probleme (sigur in total problemele vor avea un punctaj mult peste 30 de puncte) si fiecare student face din ele la alegere pe care le doreste sa isi atinga punctajul si nota pe care o tinteste. Nu vor fi subiecte de teorie asa cum am stabilit impreuna la curs inca din noiembrie (volumul teoretic predat e foarte mare si foarte abstract si nu doresc sa stimulez invatarea mecanica si memorearea) ci doar probleme pentru a aplica cunostintele teoretice: examenul va fi ca in SUA sau cum practica alti colegi in tara. Nota pentru fiecare student e numarul de puncte impartit la 3. Pentru nota zece, daca nu aveti deja puncte acumulate in timpul anului, trebuie sa rezolvati 3 sau 4 probleme in functie de punctajul pe care il vea avea fiecare problema si pe care il veti sti din lista de probleme. Modul asta de examen il voi practica de acum incolo tot timpul pentru a eliminat tocirea mecanica si mai ales copiatul in care studentii care invata sa fie dezavantajati in fata celor care copiaza. In plus se pot colecta puncte pe parcursul anului din problemele rezolvate de voi pe care le propun (o sa le postez evident si pe acest blog) si pe referatele pe care o sa le dau. Un referat bine facut si inteles (nu copiat mecanic din carti) poate primi maxim 5 puncte. Prefer sa citesc rezolvarile pe blog si nu foi de hirtie: e cazul sa sprijinim ecologia. Cum voi propune problemele pe blog si solutiile voastre le prefer (dar nu e obligatoriu) tot pe blog, on-air. In felul asta si ramin pentru eternitate aici si nu mai consumam auiurea hirtie.

Bibliografie: Nu o sa predau dupa o anumita carte. Nu am facut niciodata asta. O sa fac „un terci” care sper sa nu fie dezagreabil. Asa ca e bine sa mai treceti din cind in cind joia de la 17 pe la curs.

Daca vrei sa faci progrese in stiinta studiaza-i doar pe marii maestrii” (C. Noica). Asa ca incepem cu:

1. S Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer. – Asta e Biblia in teoria categoriilor scrisa de co-fondatorul lor.

2. M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Springer, 2006.

3. P.J. Freyd, Abelian categories, 1967

4. B. Mitchell, Theory of Categories, 1965,

5. N. Popescu, Abelian Categories with applications to rings and modules, 1973.

6. G. Bergman, An invitiation to general algebra …, pagina lui web la Berkley

7. J. Oosten, Basic Category Theory, 1995

8. M. Barr, C. Wells, Topos, Triples and Theories, Springer, 2000.

sau capitole suport de teoria categorilor din diverse carti: 

9. H. Bass, Algebraic K-Theory,

10. J. J. Rotman, Advanced Modern Algebra

11. P. A. Grillet, Abstract Algebra, Springer, 2007

12. B. Pareigis, Quantum groups and noncommutative geometry, pagina lui web

13. C. Nastasescu, Inele. Module. Categorii, 1976

14. Hilton, Stammbach, A course in Homological Algebra

etc etc O lista extrem de generoasa de referinte despre teoria categoriilor gasiti aici http://planetmath.org/encyclopedia/CategoricalOntologyABibliographyOfCategoryTheory.html

Septembrie 29, 2008 - Posted by | Uncategorized

6 comentarii »

  1. Ieri am facut doar cursul (cele doua ore din orar). Seminarul ne-a transformat in … femei de serviciu ale UB. Mai precis de la 17 la 18 am aranjat sala in care sa tin cursul de la 18: bancile care abia sosisera si erau pline de praf, scaune, aspirat pe jos ca era o mizerie de nedescris de la muncitorii de peste vara, sters mesele cu Ajax, etc… treburi de profesori si studenti insetati de stiinta (mersi Ana, Costel si Octavian care ati participat la treaba asta intelectuala). Probabil ca cei care trebuiau sa faca treaba asta (curatenie) erau la o tigara. M-a enervat ceva: unii studenti care au venit mai tirziu, in loc sa ne ajute zimbeau ca aranjam sala si facem curatenie in locul in care urma sa ne desfasuram activitatea. In loc sa puna mana se uitau la alti care le faceau curatenie in locul unde vor sta… Ca romanii la inudatii: asteptau ca altii sa le faca treaba😦 Ana a fost erou al muncii socialiste: a sters toate bancile (inclusiv catedra) cu Ajax🙂
    Daca si alte sali din FMI au nevoie de curatenie poate ne gasiti: suntem o echipa de facut curatenie cu exeperienta acuma.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 3, 2008

  2. Propunere de referat pentru 5 puncte. O chestie se pare a lui Gabriel in teza lui de Categorii Abeliene (articolul in gasiti pe numdam.org).

    Fie C o categorie mica cu clasa obiectelor o multime finita si aditiva. Fie Ab categoria grupurilor abeliene si Functors (C, Ab), categoria functorilor de la C la Ab. Artati ca Functors (C, Ab) este echivalenta cu categoria modulelor drepte peste un inel R, numit inelul Gabriel al categoriei C.

    Indicatie: Inelul R este suma directa a tuturor grupurilor abeliene Hom_C (i, j), dupa i, j din C cu inmultirea evidenta – compunerea morfiselor cind se poate si zero in rest.

    Ce vreau? demostratia in detaliu a acestui rezultat, scrisa detaliat ca fisier .pdf. E necesara conditia aditiva in enunt? Dar conditia ca C sa fie finita?

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 3, 2008

  3. Vad ca nu vorbesc singur pe aici (spun asta ca azi blogul are cele mai multe accesari de pana acum – peste 75 de vizitoatoi unici pe ziua de azi) – desi inca nu scrie nimeni.😦

    In fine: am adagat pe prima pagina un alt link la cea mai bogata lista de resurse bibliografice. Am impresia ca azi categoriile sunt mai folosite in computer science decit in mate pura. Chiar mi-am adus aminte: acum vreo 2 saptamini Daniela Petrisan imi scria din UK (face un doctorat acolo) ca primul ei articol de computer science pe care l-a scris foloseste … ‘categorii la greu’.

    Dintre articolele alea doua ma fac sa zimbesc unde s-ar mai folosi draciile astea de categorii (in biologie moleculara si mecanismele cancerului!!!):

    MEMO pentru mine: sa nu uit sa dau la cursul nr. 2 un al doilea referat despre grupoizi. Tema e prea tentanta si vreau ca studentu(a) ce o face sa nu isi bata joc de el. Pe scurt: vreau constructia produsului crossed pentru grupoizi care sa il extinda pe cel de la grupuri … daca cel ce o face demostreaza toate teoremele produsului crossed clasic de la grupuri (aveti pe aici un post depre the extension problem) – poate sa nu mai vina la examen. Primeste nota 10 direct + (bonus pentru el/ea) va scrie un articol de mate. De grupoizi.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 3, 2008

  4. Am gasit o multime care sa verifice primele 4 conditii din definitia a 2-a a universului

    $ \left\{{\emptyset , \{ \emptyset \} , \left\{ {\emptyset, \{\emptyset\}} \right\},
    \left\{{ \left\{{\emptyset, \{\emptyset\} }\right\}, \emptyset }\right\},
    \left\{{ \left\{{\emptyset, \{\emptyset\} }\right\}, \{\emptyset\} }\right\} ,… \right \} $

    Comentariu de Gabi | Octombrie 5, 2008

  5. Probabil ca te referi la exemplu numit pe Wikipedia „multime finita ereditara”. E cel de aici

    http://en.wikipedia.org/wiki/Hereditarily_finite_set

    si despre care spun cei de acolo ca e sigurul exemplu de univers cunoscut.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 5, 2008

  6. Stari si depresii de luni seara … si doua exercitii.

    La cursul trecut, una din motivatiile introducerii categoriilor a fost cea initiala a lui Eilenberg si Mac Lane care viza jocul: spatiu vectorial, dualul sau, dualul dualului si in care explicam ca izomorfismul dintre V si dualul sau (cel folosit de geometrii: baza –> baza duala) nu este ‘natural’ pe cind cel intre V si dualul dualului este natural! Treaba asta e o observatie haioasa. Vin acum si trintesc urmatorul exercitiu (scuze pentru cei care nu au auzit inca de transformari naturale – vor fi predate curind):
    Exercitiu 1) (2 puncte) : Fie Vec categoria spatiilor vectoriale (finit dimensionale – desi nu tin neaparat la asta pentru partea ii) din exercitiu) peste un corp fixat. Fie (-)^* functorul contravariant de luare a dualului ca la geometria de anul I.

    a) Exista cumva un izomorfism natural intre functorul identitate al categoriei Vec si functorul (-)^* de luare a dualului unui spatiu vectorial? Daca da, puneti manutele pe unul din ei. (aici, pentru simplitate, presupun ca lucrez doar in categoria spatiilor finit dimensionale). Daca nu, explicati de ce nu exista! (daca ar exista, atunci nu s-ar mai defini dualul🙂 ).
    b) Cine este clasa tuturor transformarilor naturale dintre cei doi functori? Daca e o multime (asa cum sigur este) puneti manutele pe toate elementele sale.
    ––––––––––––––––––

    Sa merg la al doilea exercitiu ca imi place. Am redefinit joi la curs notiunea de monoid si grup folosind doar diagrame comutative si functii. Asta era una din motivatiile studiului teoriei categoriilor.

    Exercitiu 2) (2 puncte):
    1) Intoarceti toate sagetile in cele doua definitii. Obiectele noi pe care le obtineti, si poate pana acum nu stiati ca exista, numiti-le co-monoid si co-grup in categoria Set a multimilor.
    Dati cit mai multe exemple diferite (minim 5) de co-monoizi si co-grupuri! Cam ce ar fi un morfism de co-monoizi?
    2) Acum schimbati categoria SET cu categoriile:
    a) Vec (cea de mai sus), cu produsul tensorial (in loc de produs direct ca la multimi), k (in loc de element unitate ca la Set).
    b) (bimodule peste R, cu produsul tensorial peste R (in loc de produs direct ca la multimi), R (in loc de element unitate ca la Set).

    Ce inseamna monoid, grup, co-monoid, co-grup in aceste doua categorii? Dati exemple de astfel de obiecte noi introduse.
    Acum continuati jocul cu alte categorii in locul acestora …

    si aveti cea mai puternica motivatie a studiului categoriilor braided monoidale privind rolul unificator pe care il joaca in diverse domenii ale matematicii.

    Comentariu de gigelmilitaru | Octombrie 6, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: