Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Probleme celebre (I): the extension problem (Holder)

Stire: o problema pe care am pus-o pe blog in iarna (vezi arhiva) si rezolvata tot acolo de Dragos a devenit (impreuna cu alte rezultate) articol trimis spre publicare de doi studenti (detaliile la sfirsitul postului – nu stiu de ce naiba imi editeaza blogul cu litere mici!) Bafta lor si altor cititori ai acestui blog, mai inteligenti decit ai „lor”.

ISTORIC: In 1895 intr-un articol lung de extensii de grupuri O. L. Holder a lansat una din cele mai interesante probleme ale matematicii care a generat noi domenii de studiu: the extension problem. Sa enunt problema.

The extension problem: Fie H si G doua grupuri fixate. „Descrieti” si „clasificati” toate grupurile E care il contin pe H ca subgrup normal astfel incit E/H este izomorf cu grupul  G.

Ce inseamna descrierea si mai ales clasificare este … mai mult sau mai putin parte a problemei. The extension problem a stat la originea nasterii unor noi directii de studiu ale matematicii care ulterior au devenit domenii de studiu in sine. Printre altele mentionez: cohomology of groups, homological algebra, crossed product of groups acting on algebras, crossed product of Hopf algebras acting on algebras, crossed product for von Neumann algebras, crossed product of quantum groupoids etc. Sa schimb unghiul din care pot sa ma uit la problema: produsul crossed intr-un domeniul al matematicii (grupuri, algebre Hopf, etc etc etc) poate fi privit si ca scula necesara prin care putem reconstrui un obiect matematic O dintr-un subobiect al sau si un obiect factor. Sa mai schimb inca o data unghiul din care ma uit la problema si sa ajung la o problema formulata de Adrian Ocneanu (sigur eu aici prezint o versiune a problemei AO intr-un cadrul cit mai general si salbatic cu putinta) din teoria subfactorilor dar avind ca model teoria clasica Galois: Fie O_1 \subset O_2 o extindere a doua obiecte matematice date dintr-un domeniu dat (extindere de inele, de grupuri, etc etc). Cind exista „ceva ca grupul” care actioneaza pe O_1 a.i. O_2 este un produs crossed intre O_1 si acel „ceva ca grupul”.

Primul rezultat notabil on the extension problem a fost dat de O. L. Holder insusi: el a determinat prin generatori si relatii toate extinderile ale unui grup ciclic finit printr-un alt grup ciclic finit (gasiti teorema, foarte haioasa, in cartea lui P.A. Grillet, Abstract Algebra, Springer, GTM, 2007 – a fost expusa de AA la seminaru’ stiintificu’ studentescu’ de algebra in toamna trecuta). A doua mare contributie la problema apartine lui O. Schreier in 1926 care a „determinat” toate extinderile in cazul in care H e grup abelian si „clasificat” pe cele care ‘stabilizeza’ capetele: multimea factor a claselor de echivalenta a acestor extinderi (via relatia de echivalenta care stabilizeaza capetele) este in bijectie cu al doilea grup de coomologie H^ 2 (G, H). In general,  nu exista o solutie a problemei de clasificare (cel putin asa zice J.J. Rotman in cartea lui de grupuri pe la pagina 155) desi recent J. Baez afirma (fara mari detalii si cu riscul de a fi vorba de barbologie: vezi https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/02/05/baez-clasificarea-extinderilor-de-grupuri-de-catre-2-functori/) ca extenderile de mai sus sunt clasificate de … weak 2-functors G \to AUT (H), whater that means.🙂. Cele mai tari rezultate au fost date in cele doua articole din Annals in 1947 din [1].

Cei interesati de problema pot citi un articol recent (la nivel de studenti daca lasati la o parte manaria categoricala) de saptamina trecuta (ma rog acum e finalizat si trimis spre publicare ca el este gata de peste un an si citeva luni) de aici http://xxx.lanl.gov/PS_cache/arxiv/pdf/0805/0805.4077v2.pdf  In articol am lasat cu generozitate🙂 si vreo 7 probleme de studiu/cercetare ca probleme open din care, sper ca voi, ca studenti ai FMI insetati de stiinta🙂, veti lucra cu spor. Una din ele e foarte interesanta dar nu va spun care. :) Cine lucreaza la ele si obtine si rezultate poate ne contacteaza ca s-ar putea sa mai lucram si noi la ele🙂 desi acum avem altceva pe tzeava. Succes!

Bibliografie

[1] S. Eilenberg, S. MacLane, Cohomology theory in abstract groups I & II, Ann. Math. 48(1947), 51 – 78 and 326 – 341

MacLane (co-fondatorul teoriei categoriilor printre altele) a fost foarte preocupat de ‘the extension problem” si probabil are cele mai importante contributii la problema: are articole intinse in timp peste 25 de ani! Iata un exemplu de timp alocat unei singure, dar celebre, probleme. Unul din ele este free aici: http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SD/SD_1955-1956__9_/SD_1955-1956__9__A17_0/SD_1955-1956__9__A17_0.pdf

PS: Un articol din toamna asta scris de Ana Agore si Dragos Fratila pe tema produselor crossed este postat la http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0809/0809.0433v1.pdf . In el sunt calculate toate produsele crossed intre doua grupuri ciclice (completind in felul asta o teorema celebra si frumoasa a lui Holder prea putin conscuta pe plaiurile dimbovitene) si este data o conditie necesara si suficienta ca un produs crossed sa fie grup ciclic (aceasta din urma putind fi vinduta ca o frumoasa generalizare a celebrei leme chineze a resturilor).E lasata deschisa si o problema mai larga: cind un produs crossed apartine unei „Clase C” data de grupuri (sau cind un produs crossed are o anumita propietate „P”?

Mai 31, 2008 - Posted by | Uncategorized

4 comentarii »

  1. Aiurea

    Comentariu de dadatroll | Mai 31, 2008

  2. ???????????????????????????????????????????????????????
    m-ai luat, domn’e!

    Comentariu de prodan | Mai 31, 2008

  3. Daca va pasioneaza grafica , algoritmuri de grafica , puteti intra pe Windows Vista si sa darimati mitul ca romanii nu sunt buni la grafica ! Oricum numai prin multa matematica se poate ajunge la informatica , si de acolo la Microsoft !
    Este foarte adevarat, matematica ii depaseste pe romani, in general, dar si cartile de matematica sunt rare ?
    Are cineva vreun EFM ? (Ecuatiile fizicii matematice).
    In domeniul grafurilor, cartile sunt putine.
    Speram sa demolam lumea in care traim si sa avem mai multe carti de matematica.

    Comentariu de starlete | Iunie 1, 2008

  4. O mica precizare: produse crossed la nivel de grupuri si apoi la nivel de grupuri actionind pe inele am predat studentilor de anul III la cursul optional „Introducere in algebra moderna” in anul universitar 2006-2007. Problema de clasificare (care se reduce in cele din urma la calculul izomorfismelor intre doua crossed-uri) pe care o abordam in articol a fost pusa ca problema de cercetare ‘la tabla’ asa cum am facut si voi face tot timpul cind predau un curs la care participa studenti interesati de matematica si care au potential de cercetare.

    Un curs bun trebuie sa ofere auditorului o fereastra deschisa si sa incerce sa abordeze mici teme de cercetare. Dintre profesorii pe care i-am avut cind eram student doar UNUL SINGUR facea asa ceva: domnul Solomon Marcus. La restul li se rupea’n 14 de studenti.

    O sa imi postez pe pagina mea din FeMeI toate articolele scrise de studenti ca solutii la problemele pe care le-am lasat la diverse cursuri pe care le-am predat. La tabla. Nu le-am numarat dar cred ca sunt aproape 10 astfel de articole.

    Si acum sa vorbesc un pic si de studenti: pentru mine un student bun, cu potential, este cel ce vorbeste cit mai putin dar care demostreaza cit mai mult: e cel ce rezolva ceva , cel ce este efectiv framintat de o problema, cel ce arde pentru o problema, care nu mai are liniste pana nu o rezolva. Nu cel ce are gura mare, care macane🙂 non stop, care e obraznic sau impertinent sau „linge”🙂 profesorii din toate pozitiile.

    Comentariu de gigelmilitaru | Iunie 3, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: