Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Generatori si Cogeneratori: Sweedler si Pareigis

Nu are rost sa insist despre importanta generatorilor sau a cogeneratorilor intr-o categorie (definitia lor o gasiti sigur pe Wikipedia, asa ca mai scutesc din munca aici): suficient doar sa reamintesc ca daca o categorie are generatori am toate sansele sa fiu in stare sa calculez clasa tuturor transformarilor naturale intre doi functori dati ce pleaca din acea categorie (si daca vreti sa va jucati cu masinaria atunci aveti toate sansele sa vinati teoreme noi de tip Morita – eu am practicat jocul ala pe la seminarul studentesc in iarna). In toamna cind preadam cursul de categorii am lansat o tema de aici: Cogeneratori in categoria grupurilor . Acolo Alex a dat o solutie misto ca Gr nu are cogeneratori folosind faptul ca exista grupuri simple cu cardinal oricit de mare. Vineri seara am gasit un articol super fain al autorilor din titlul (doi mari matematicieni – cel putin Sweedler e omul ce practic a inventat un nou domeniu de studiu): articolul se cheama „On generators and cogenerators” si e publicat in Manuscripta Math. 2 (1970), 49–66. Sweedler si Pareigis transeaza problema cogeneratorilor prin diverse categorii folosind un argument de tip Alex dar… nu pentru grupuri ci pentru Algebre Lie. Mai precis ei construiesc efectiv un exemplu de algebra Lie simpla de dimensiune oricit de mare. Pornind de aici si putine adjunctii trag concluzii misto de diverse categorii care nu au cogeneratori. Articolul e super fain si ii fac reclama pe fata.🙂
 
Uite ce tema misto de licenta: generatori si cogeneratori in natura!

Aprilie 6, 2008 - Posted by | Uncategorized

2 comentarii »

  1. Nu am fost de mult pe aici.🙂

    În mesajul despre cogeneratori în categoria grupurilor nu am mai zis nimic pentru că nu era aşa uşor de verificat că exemplele de grupuri la care mă gândeam eu sunt într-adevăr grupuri simple. Dar uite un exemplu cu care zic eu că se lucrează uşor:

    E binecuonscut faptul că grupurile A_n de permutări pare sunt simple pentru n\ge 5. Folosim chestia asta după cum urmează: consider o mul©time de cardinal arbitrar de mare \Omega. Acum mă uit la permutările mulţimii \Omega care mişcă numai un număr finit de elemente – o să le numesc pe scurt [i]permutări finite[/i]. Are sens pentru asemenea permutări să vorbesc despre semnul lor, şi deci are sens să spun că sunt pare sau impare. Ar trebui să fie clar acum, din faptul că A_n sunt simple, că grupul permutărilor finite pare e simplu.

    Pentru algebre Lie funcţionează o construcţie analoagă (cel piţin mie mi se pare că e analoagă): îmi fixez corpul scalarilor k; se ştie, şi oricum nu e greu de arătat, că pentru un număr natural n\ge 1 prim cu caracteristica lui k, algebra Lie a matricelor n\times n cu urmă nulă e simplă (paranteza Poisson e cea uzuală, adică [A, B] = AB-BA). Acum iau un spaţiu vectorial V peste k de dimensiune arbitrar de mare (adică un număr cardinal mare), şi consider acele endomorfisme care au rang finit. Are sens pentru ele să vorbesc despre urmă, şi algebra Lie a acestor endomorfisme finite de urmă nulă o să fie simplă.

    Comentariu de Alexandru Chirvasitu | Aprilie 19, 2008

  2. Aparnişte erori mai sus. În primul rând, acolo unde scrie „Formula does not parse”, am vrut să scriu [A,B]=AB-BA. Probabil că LaTeX-ului de aici nu-i plac parantezele drepte. Şi acolo unde am pus [i] şi [/i] am crezut că merge ca pe forumurile alea făcute în PHP, unde chestia aia îmi face dextul dintre [i] şi [/i] cursiv. Se pare că aici nu merge. Scuze că arată aşa urât mesajul🙂.

    Comentariu de Alexandru Chirvasitu | Aprilie 19, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: