Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Teoria Morita in Algebra si Geometrie: un survey fain

Sa mai citim si ce spun altii la „cursul” asta on-air si sa ma adresez acum studentilor din anii terminali. In cadrul cel mai general problema teoriei Morita (in diverse domenii ale matematicii) se poate formula asa:

Dati o conditie necesara si suficienta ca doua categorii de obiecte de acelasi tip sa fie echivalente? Parametrizati (descrieti) functorii care descriu echivalentele. 

Ea a fost lansata de Morita la mijlocul anilor 60: el a dat conditii necesare si suficiente ca doua categorii de module (peste doua inele R si S) sa fie echivalente si a parametrizat echivalentele prin asa numitele ‘contexte Morita’. Cum e de intuit teoria facuta de Morita la nivel de module poate servi ca model pentru a demostra teoreme similare pentru alt tip de categorii in matematica, nu neaparat reprezentarile unui inel (i.e. categoriile de module) ci si alte reprezentari ale altor tipuri de obiecte. Ma gindisem la asta anul asta, prin toamna cind predam teoria Morita la seminar, dar nu stiam referinte precise decit teoria Morita-Takeuchi facuta de Takuchi pentru categorii de comodule peste coalgebre si un alt articol al lui J.J. Zhang de mai  jos. Zilele astea am gasit un articol survey care exact cu asta se ocupa: spune prin ce alte domenii ale matematicii (mai precis in geometrie si lista ramine deschisa … de exemplu in articol apar pentru categorii de reprezentari ale grupoizilor care pot fi doar algebrici dar pot avea pe ei si structura topologica sau diferentiabila) mai exista teoria Morita facuta. Articolul scris de Meyer il puteti gasi free pe pagina web a lui Alain Weinstein la Berkeley. Adica aici: http://math.berkeley.edu/~alanw/277papers/277papers.html si articolul este Morita Equivalence in Algebra and Geometry.

Daca nu va descurcati (fisierul este direct in latex si trebuie sa il compilati voi, deci trebuie sa aveti latex instalat) o varianta .pdf a articolului lui Meyer este aici: Teoria Morita in Algebra si Geometrie si poate servi ca o referinta super pentru o lucrare de licenta sau dizertatie. Ca noutati care nu sunt in articolul lui Meyer:

Recomand suplimentar si articolul http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9906/9906063v2.pdf scris de doi mari matematcieni (Kapranov si Manin: Modules and Morita theorem for operads). Un articol bun de teorie Morita si Descent (printre altele are si o varianta generalizata a celebrei teoreme a lui Grothendieck — faithfully flat descent theorem — pe care am expus-o la seminarul stiintific studentesc in toamna asta) este articolul lui Stef, Erwin si Jost din Trans. AMS pe care il puteti citi aici  http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0406/0406436v3.pdf

J. J Zang are un alt articol amplu, deloc simplu, da o conditie necesara si suficienta ca doua categorii de module peste algebre graduate A si B connected sa fie echivalente iar conditia e super misto: B e un twist a lui A. Articolul lui Zhang este asta: 

J. J. Zhnag, Zhang: Twisted graded algebras and equivalences of graded categories, Proc. London Math Soc. 72(1996),  281–311

si cred ca a fost teza lui de doctorat facuta sub M. Artin la MIT.

Martie 31, 2008 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: