Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

spatii vectoriale, multimea lui Cantor

Sunt cam trist: nu prea vad solutii la probleme.😦 Unde sunt rezolvitorii de alta data? Au fugit in munti? Ana, Alex, Dragos voi ce paziti pe aici sau va prefaceti ca nu ati mai dat click pe acest blog … exceptional🙂 ? Poate astenia de primavara de e vina. Ma rog sa mai incerc cu doua:

1) Fie k un corp comutativ. Mache sunt k-spatiile vectoriale k ^ N si k^{(N)} izomorfe? (N e multimea numerelor naturale aici).

2) Presupunem k corp infinit, V un k-spatiu vectorial de dimensiune finita mai mare strict decit 1 si fie W un subspatiu propriu (diferit de V si de 0) al lui V. Aratati ca W are o infinitate de complementi: i.e. exista o infinitate de subspatii T ale lui V cu propietatea W + T = V si W \cap T = 0.

Am si eu o intrebare acum prin care cer o referinta: stie cineva unde pot gasi o demostratie (si daca e elementara – posibil sa nu fie elementara deloc) a rezultatului urmator: exista o baza a lui R ca si spatiu vectorial peste Q continuta in multimea lui Cantor C  (Q e multimea numerelor rationale, R sunt realele)? vreau sa vad daca o pot sau nu recomanda studentilor enervant de studiosi🙂  sa o citeasca.

Multimea lui Cantor C e multimea numerelor de forma \sum_{k > 0} a_k/3^k, unde fiecare a_k este sau 0 sau 2 (evident ca acolo sunt niste serii convergente si e posibil sa fie multa analiza matamatica in demostrarea acestui rezultat).

Comentariu: am reeditat postul dupa o observatie a lui Alex si Dragos. Mai mult Alex mi-a mai spus un rezultat frumos legat de aceasta multime a lui Cantor: C + C = [0, 2] (intervalul inchis), i.e. orice numar din interval se poate scrie ca suma a doua numere din multimea lui Cantor.

Martie 21, 2008 - Posted by | Uncategorized

8 comentarii »

  1. La problema 1, care e diferenta intre cele $ k^N $ si $ k^{(N)} $ ?

    Comentariu de Cristi | Aprilie 8, 2008

  2. prima e multimea tuturor sirurilor din k iar a doua e multimea sirurilor de suport finit.

    Comentariu de gigelmilitaru | Aprilie 9, 2008

  3. Ok, hai sa vedem:
    1) Multimea {e_1,e_2,e_3,...} este o baza numarabila a lui k^{(N)} (e_i are un 1 pe pozitia i si 0 in rest). Faptul ca nu sunt izomorfe rezulta daca demonstram ca k^{N} nu are o baza numarabila. Presupunem contrariul, fie {f_1,f_2,...} o baza numarabila (f_i=(a_{i1},a_{i2},...)). Pentru orice n gasim n coloane din matricea infinita A=(a_{ij}) astfel incat determinantul format din primele n linii si coloanele respective sa fie nenul (deoarece {f_i} este baza). Construim vectorul v=(x_1,x_2,...) inductiv. x_1 este oarecare. x_2\neq x_1 a_{11}^{-1} a_{12} (putem presupune ca a_11 este nenul). Atunci v nu este in spatiul generat de f_1. Presupunem ca am definit cel putin n coordonate ale lui v si v nu este in spatiul  si definim inca o coordonata a lui v astfel incat v sa nu fie in sp. generat de primii n vectori din baza. Consideram matricea B cu determinant nenul formata din primele n linii si unele coloane. Atunci sistemul B^t y=x' (x’ este vectorul n dimensional format cu coordonatele lui v corespunzatoare coloanelor alese) are solutie unica si este suficient sa definim o noua coordonata x_k a lui v astfel incat aceea coordonata x_k sa nu fie combinatie liniara a_{1k}y_1+a_{2k}y_2+...+a_{nk}y_n (y_i sunt coordonatele solutiei unice de mai sus). Astfel, v nu este in spatiul generat de primii n vectori si astfel va rezulta in cele din urma un vector care nu este generat de acea baza numarabila, ceea ce este o contradictie.

    Comentariu de Cristi | Aprilie 18, 2008

  4. Nu mi-a afisat forumula. Era: „Presupunem ca am definit cel putin n coordonate ale lui v si v nu este in spatiul ” pe la mijlocul mesajului.

    2)Putem presupune ca V=K^n si W este generat de e_1,e_2,...e_p a.i. 1\leq p\leq n-1 si e_i sunt din baza canonica. Fie e_{ki} vectorul care are k pe pozitia 1 si 1 pe pozitia i pentru orice k\in K si T_k subspatiul generat de e_{k,p+1},e_{k,p+2},...e_{kn} . Atunci, pentru orice k T_k este un complement al lui W deoarece { e_1,...,e_p,e_{k,p+1},...e_{kn} } este o baza pentru V. Mai ramane de aratat ca T_k\neq T_r pentru k\neq r, lucru care rezulta din faptul ca e_{k,p+1}\in T_r \rightarrow k=r . Deoarece corpul este infintit rezulta ca exista o infinitate de complementi.
    Sper ca nu am gresit ceva.

    Comentariu de Cristi | Aprilie 18, 2008

  5. Iar nu mi-a afisat forumula. Era “Presupunem ca am definit cel putin n coordonate ale lui v si v nu este in spatiul [f_1,f_2,…f_{n-1}]” la prima problema.

    Comentariu de Cristi | Aprilie 18, 2008

  6. Sunt ok solutiile?

    Comentariu de Cristi | Aprilie 20, 2008

  7. Prima pare ok si nu vad sa fie vreo gresala. La a doua cred ca presupunerea ta ca W e generat de o subfamilie a bazei canonice e cam tare.

    Comentariu de gigelmilitaru | Aprilie 20, 2008

  8. Eu cred ca putem presupune. Fie \{v_1,...v_p\} o baza a lui W pe care o completam \{v_1,...v_p,v_{p+1},...v_n\} la o baza a lui V. Construim izomorfismul f:V\rightarrow K^n f(v_i)=e_i , si astfel imaginea lui W este generata de primii p vectori din baza canonica. E ok?

    Comentariu de Cristi | Aprilie 20, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: