Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Liniar independenta si geometrie algebrica

Sa imi prefatez cursul de saptamina asta cu o problema de liniar indepedenta a unor elemente. A arata ca niste elemente intr-un spatiu vectorial sunt liniar indepedente e o treaba banala pe care ar trebuie sa stie sa o arate orice student, nu-i asa? Fain. Sa pun urmatoarea problema atunci:

Fie A_1,A_2,\ldots,A_n,  n puncte distincte in interiorul unui cerc dat. Pentru orice i\neq j fie B_{ij} intersectia semidreptei ce pleaca din A_i si trece prin A_j cu cercul dat. Fie z_{i,j}\in \mathbb{C} numerele complexe care sunt afixele punctelor B_{ij}, pentru orce i\neq j, si fieP_i(x)= (x-z_{i,1})(x-z_{i,2})\cdots (x-z_{i,i-1})(x-z_{i,i+1}) \cdots (x-z_{i,n}) \in \mathbb{C}[X].

Aratati ca P_1, P_2, \ldots, P_n sunt polinoame linear independente peste corpul numerelor complexe.

Comentariu: primul student de la seria 11 care va rezolva problema (chiar in cazul particular n=3 sau n=4) va primi nota 10 la examen! Vorbesc serios. Cind fac aceasta oferta  inseamna ca problema de mai sus e chiar … o problema  si din acest motiv sper sa nu primesc ‘solutii’ scrise la repezeala in care sa fie spuse prostii (greseli) enorme: prostiile in mate ma cam enerveaza si ma zgiraie pe creier. Problema de mai sus e o varianta a mea, in plan, a unei probleme pe care mi-a zis-o cu ani in urma Bogdan Ion: varianta pe care mi-a spus-o el era in spatiu, punctele traiau pe o semisfera iar in loc de semidrepte se citesc desigur arce de cerc orientate. In acest caz se pare ca problema a fost formulata de Atiyah si rezolvarea ei ar solutiona nu stiu de conjectura in topological quantum field theory (TQFT = o categorie din fizica-matematica, ma rog din geometria diferentiala mai precis, de care am vorbit cind am facut teorie Frobenius in ianuarie – februarie la seminarul stiintific studentesc de Algebra de aici http://fmi.unibuc.ro/ro/algebra_pentru_studenti/ – btw, semestru asta seminarul se tine miercurea de la 16) . Din cite am inteles se pare ca, pentru varianta in spatiu, problema a fost demonstrata pentru n = 3 chiar de Atiyah (am inteles, ca nu am citit, nu ii stiu demostratia  si nu stiu unde poate fi citita ca a folosit geometrie algebrica la greu) si pentru n = 4 a fost facuta de niste fizicieni folosind programe pe calculator.  

Ca sa fiu fair trebuie sa spun ca eu nu stiu sa fac problema de mai sus (aia in plan) nici macar pentru n=3! Am incercat in vara lui 2005 si nu mi-au iesit calculele pana la capat, m-am intotmolit in cazuri si necazuri. Asa ca studentul care o face va avea dublu cistig: va lua 10 la examen si va si scrie primul articol serios de matematica. Am dat problema si pe mathlink acum vreo 3 ani: au pus-o in 2005  http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=1492138383&t=43154 si nu vad vreo solutie.

PS: Ma gindesc din ce in ce mai serios sa inchid acest blog si sa ofer acces doar pe baza de invitatie studentilor cu care lucrez direct. Motivele cred ca incep sa fie evidente.

Bafta!
 
 

Martie 10, 2008 - Posted by | Uncategorized

4 comentarii »

  1. Și cei care nu sunt studenții dumneavoastră, dar sunt interesați de subiectele postate aici, vor mai avea posibilitatea să acceseze site-ul acesta?
    Vă întreb, deoarece mă aflu printre cei din categoria enunțată mai sus.

    Comentariu de Tiberiu | Martie 11, 2008

  2. Poate sa imi devina studenti🙂 Inca nu am decis ce voi face: pe baza de invitatie or sa acceseze in special daca sunt studenti. Daca lucreaza cu alti profi insa se isi faca acei profi blog-uri🙂

    Oricum ma mai gandesc ca nu am luat decizia finala dar sigur ceva voi schimba.

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 11, 2008

  3. p1+ip2+i2p3+i3p4+…+in-1pn=0
    p1-p3+ i(p2-p4)+…=0
    luam partea reala si o egalam cu 0 si partea imaginara la fel..
    (p1-p3)+(p5-p7)+(p9-p10)+…=0
    si (p2-p4)+ (p6-p8)+(p10-p12)+…=0
    ……
    cu siguranta am gresit…dar vreau sa ma mai gandesc..si chiar vreau sa o fac..:D
    PS:(poate k am scriis prostii…k numai
    d’astea fac)

    Comentariu de Bratu Ovidiu | Martie 18, 2008

  4. „cu siguranta am gresit”

    Cu aceasta afirmatie sunt perfect de acord🙂

    „poate k am scriis prostii”
    🙂 Aceasta afirmatie nu o mai comentez🙂 Succes in rezolvarea problemei.

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 20, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: