Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Anul I: probleme facultative de algebra (1)

Avertisment: Lasati orice speranta/Voi ce intrati aici!🙂

Asa cum am spus la cursul de algebra al studentilor de la seria 11 aceste probleme „facultative” pe care le pun pe blog pentru a economisi timpul cind predau nu sunt de facut la seminar (copii va rog frumos sa nu imi puneti seminaristii in incurcatura – asta in cazul in care seminaristul calca pe la semniar) ci au rostul de a va pune pe voi ginduri 🙂 , de a va genera nelinisti pana le rezolvati  :)  iar pentru mine e o cale de a va cunoaste mai bine si de a identifica studentii care au „aplecare” :)  spre matematica pura. Orice (tentativa de) solutie e bine venita si va rog sa o postati pe blog! Voi tine cont de ea la nota de la examen dar nu stiu cum. :)  Nu fiti insa dezamagiti daca nu va ies din prima problemele pe care le pun pe aici: unele din ele sunt usoare (de exemplu 4 si 5 de mai jos – uuuups, mai bine nu spuneam🙂 asta ) alte pot fi … teoreme dragutze dar greutze :) . Pe unele poate nu stiu nici eu sa le fac! :):):)  Incearca si a doua zi. Drumul in stiinta e lung, greu, anevoios si succes au doar cei ce sunt perseverenti, ambitiosi, seriosi dar si … dotati natural pentru matematica.

Bafta si drum bun in matematica!  Btw, bine ati venit in FeMeI si UB.

1)* Fie R o extindere de tip finit a lui Z. Aratati ca in R orice ideal e finit generat. Generalizare.

2)* Fie G un grup finit de automorfisme a inelului de polinoame C [X_1, …, X_n] si R subinelul de invarianti (i.e. polinoamele f a.i. g (f) = f, oricare ar fi g din G).  Aratati ca orice ideal al lui R e finit genearat. Generalizare.

3)* Fie f \in Z [X] a.i. |f(x)| < 1 pentru orice x \in (-2, 2). Aratati ca f e polinomul nul.

4) Dati o conditie necesara si suficienta ca un grup abelian G sa aiba o structura de Q-spatiu vectorial. In particular, aratati ca grupul abelian (Z, +) nu are o structura de Q-spatiu vectorial.

5) Aratati ca grupul abelian (R, +), cu adunarea obisnuita a numerelor reala, are o structura de C-spatiu vectorial. Puteti pune mana pe structura?🙂

6)* Aratati ca un corp nu se poate scrie ca o reuniune finita de subcorpuri propii ale sale.

7) Exista un grup G ce actioneaza prin automorfisme pe inelul C, resp. R, resp. Q a.i. inelul de invarianti sa fie Q, resp. Q, resp Z?

8 ) a) Construiti un inel R a.i. inelul de polinoame R[X] sa fie izomorf cu inelul R (cu alte cuvinte constructia sa nu dea nimic nou).

b)* Construiti doua inele neizomorfe R si S a.i. inelele de polinoame R[X] si S[X] sunt izomorfe.

Nota: Z, Q, R, C scrise cu bold sunt numerele intregi, rationale, reale, complexe cu operatiile uzuale tot timpul pe aici.

PS: A, si inca ceva: daca prin liceu nu ai avut succesul pe care il doreai la Olimpiade, concursuri etc nu fi trist. Intre matematica adevarata ca stiinta si concursul de tip rebus … nu prea exista nici o legatura. In plus, e posibil ca pe la concursuri sa isi vi bagat coada … „necuratul”🙂 (pile, spagi, trafic de influenta si alte chestii fine la romani cum ar fi suflatul problemelor dupa datina strabuna, etc).

Februarie 27, 2008 - Posted by | Uncategorized

11 comentarii »

  1. Hai mai copii nici o solutie inca? Sunt trist😦 Uite hai sa va ajut eu (de parca UB-ul m-ar plati sa tin cursuri on-air pe aici) sa incep eu cu o mica indicatie la 5).

    Ce e aia k-spatiu vectorial V?

    Pai k-spatiu vectorial se poate vinde echivalent asa: un grup abelian (V, +) si un morfism de inele f: k \to End (V) (End (V) e aici inelul de endomorfisme al grupului V). Nu stiati, ce va speriati asa? Puneti mina si faceti socotelilele si vedeti ca sunt echivalente conceptele. Daca nu va iese sunati un prieten.

    Fain? Bun, mergeti voi mai incolo acuma cu indicatia asta si rezolvati problema 5) … poate si pe 4).

    Comentariu de gigelmilitaru | Februarie 28, 2008

  2. Incercare Problema 4. O sa incep de la coada la cap. (Z,+) nu formeaza Q-spatiu vectorial, intrucat nu indeplineste a doua axioma de inchidere. Adica daca iau x in Z si p/q din Q (p,q apartin lui Z, (p,q)=1) atunci x*p/q nu este neaparat in Z. Deci Z nu e inchisa la inmultirea cu scalari=>Z nu e Q-spatiu vectorial. La prima parte o conditie suficienta ar fi asta: grupul (G,+) sa aiba un subgrup izomorf cu (Q,+). Din ce am facut eu pana acum, cred ca e si necesara. Iertare daca spun prostii🙂 .

    Comentariu de Popovici Stefan | Februarie 28, 2008

  3. Da, am spus prostii. Imi pare rau.Asta se intampla cand postezi la miezul noptii.

    Comentariu de Popovici Stefan | Februarie 28, 2008

  4. Intrebare Problema 1: Daca n este gradul extinderii peste Z, atunci fiecare ideal al lui R este o extindere de grad n al unui ideal al lui Z? E destul de important sa aflu raspunsul la intrebarea asta si eventual o explicatie. Multumesc anticipat🙂

    Comentariu de Popovici Stefan | Februarie 29, 2008

  5. Problema 5: E aproape sigur ca-mi scapa ceva, dar nu pot sa imi dau seama cum poate fi (R,+) spatiu vectorial peste complexe. Inmultirea cu scalari ar trebui sa dea tot un element din R, dar i*x nu apartine lui R, pentru orice x din R. Va rog spuneti-mi daca si unde gresesc.

    Comentariu de Popovici Stefan | Februarie 29, 2008

  6. O primavara fericita cititoarelor blogului de 1 martie!

    Raspunsuri:

    – la postul 2: atunci „x*p/q nu este neaparat”. De ce? Stim cine este * sa afirmam asta? Vreau niste detalii aici ca esti pe aproape…

    – la postul 4: nu stiu ce inseamna ‘gradul extinderii peste Z’.😦

    – la postul 5 (pentru feelin…): poti citi o carte sau sa vezi un film bun. Sau sa lenevesti cu amicii.🙂 Imi pari cam deprimat(a) si sper sa te inveselesti rapid.

    – postul 6: ba este!🙂 de ce „i*x nu apartine lui R” ??? Noi trebuie sa definim legea ‘*’ a.i. i* x sa apartina lui R. Si se poate defini, pe bune. Nu fac misto.
    Cum? Cu foarte mare grija.

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 1, 2008

  7. Info: am sters mesajele off-topic (inclusiv ale mele – alea cu buturugi, etc). Pe blog voi lasa doar mesaje stric la topic: rezolvari de probleme de algebra. Pentru aberat in voie, discutii etc.. am blogul celalalt sau aveti alte locuri.

    Acum la topic:

    a) am mai aduagat niste probleme. Vreo doua fata de lista initiala; una ieri si alta azi.

    b) am pus „stelutze”🙂 la problemele mai dificile.

    Acum sa imi iau rolul in serios si sa fac si un pic de didactica sa nu va indepartez de … materie. Adica am sa dau indicatii pentru ca o parte din ‘problemele’ care sunt teoreme (mari sau mai mici🙂 ) in algebra.

    Pentru prima problema de exemplu:
    – va sfatuiesc sa cititi notiunea foarte importanta in algebra de inel noetherian si teorema bazei a lui Hilbert (daca R e noetherian, atunci R[X] e noetherian) si dupa aia …. e gata treaba.

    Unde puteti gasi despre inele noetheriene? In orice carte de algebra care se respecta. De exemplu J.J. Rotman (Advanced Modern Algebra – vedeti ca o au unii studenti prin camin luat de ei prin … „metode specifice”🙂 ) sau de exemplu in cartea Ion & T. Albu: „Capitole speciale de teoria numerelor” – aici demostratia este absolut elementara (la nivel de anul I).

    Spor la munca!

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 2, 2008

  8. Tentativa de solutie problema 1: Orice ideal prim al lui (Z,+,.)(inel comutativ) este finit generat, in consecinta, (Z,+,.) este noetherian. Atunci R-ul din problema, fiind extindere de tip finit, poate fi organizat ca un inel de polinoame cu un numar finit de variabile cu coeficienti din Z. De aici ar rezulta, prin teorema bazei a lui Hilbert ca orice ideal din R este finit generat, (R fiin la randul sau noetherian). Am citit de-abia dimineata asta notiunile-e posibil sa nu fi inteles totul perfect, deci va rog sa ma corectati:)

    Comentariu de Popovici Stefan | Martie 3, 2008

  9. Te corectez: mai inti sa nu mai fi asa repezit🙂 si sa nu te mai grabesti (ca fata mare la maritat) ca poti spune … perle. De exemplu, o extindere de tip finit nu e inel de polinoame, ci un inel factor al unui inel de polinoame – lucru total diferit (sper ca nu e cazul sa explic de ce).

    Solutia la 1:
    – daca R e noetherian, atunci R [X_1, … X_2] e inel noetherian (teorema bazei a lui Hilbert – o gasiti in orice carte de algebra)
    – orice inel factor al unui inele neotherian este inel noetherian (idem, daca nu o gasesti nici nu e nevoie ca o faci direct cu mana ca stim, sper ca ati invatat in sem I, corespondenta intre idealele unui inel si cele ale inelului factor).
    – gata, ca Z e banal noetherian orice ideal (nu neapart prim) e de forma nZ, deci principal (deci finit generat).

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 3, 2008

  10. Am o intrebare…ce inseamna ca G actioneaza „prin automorfisme” pe inelul C?

    adica o actiune a lui G pe C se definea ca

    a: G X C ––> C unde (g,x)––-> gx

    Unde apare notiunea de automorfism? In plus, azi la curs mi-ati spus ca o sa-mi indicati niste surse de teorie pt problema 3😀

    Comentariu de Popovici Stefan | Martie 6, 2008

  11. Am dat definitia la cursul 1 din sem II (pentru motivul ca doream sa vand polinoamele simetrice ca un inel de invarianti). O reiau si pentru alti cititori daca nu o stiu:

    Definitie: Spunem ca un grup G actioneaza prin automorfisme pe un inel R daca exista f: G \to Aut (R) un morfism de grupuri.

    Inelul de invarianti e definit prin: R^G := \{ r \in R | f(g)(r) = r, \forall g \in G \}

    Ce legatura e intre acest tip de actiune (intens studiate in algebra in anii 70-80 ca un omagiu adus lui Galois) si ‘actiuni de grupuri pe multimi’ (cum e prin cartile din ro) va las sa descoperinti siguri🙂.

    In algebra studiul extinderii de inele R^G \subset R (care e Galois daca R e corp, G e finit si actiunea e fidela – i.e. f e injectiv) a constituit subiectul a mii de articole.

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 7, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: