Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Module proiective/injective peste algebre Frobenius

Un exercitiu care reflecta ‘simetria’  algebrelor Frobenius.  

Fie k un corp, R o k-algebra Frobenius si M un R-modul sting. Sunt echivalente afirmatiile:

1) M este R-modul proiectiv.

2) M este R-modul injectiv.

In particular, deduceti ca orice R-modul sting pentru o algebra Frobenius R se poate scufunda intr-un R-modul liber.

 Comentarii: 1) O k-algebra R finit dimensionala se numeste Frobenius daca exista f: R\times R \to k o aplicatie biliniara, nedegenerata si asociativa (i.e. f(ab, c) = f (a, bc) pentru orice a, b, c din R). Sunt peste 10 alte caracterizari echivalente ale acestor tipuri de algebre (unele din preferatele mele). Daca le doresti pe toate, vino la seminaru’ stiintificu’🙂 Una din ele, geometrica, spune ca R are un hiperplan care nu contine ideale stingi nenule.

Introduse in 1903 de Frobenius (matematicianul meu preferat) ele sunt mereu actuale datorita propietatilor remarcabile pe care le au, datorita simetriei pe care o poarta cu ele si nu in ultimul rind datorita prezentei lor in multe domenii ale matematicii (geometrie, fizica, etc): ultima mare lovitura cu ele a fost la inceputul anilor 90 cind s-a demostrat ca, virgula, categoria 2 dimensional topological quantum filed theories (pe scurt 2 TQFT) este echivalenta cu categoria algebrelor Frobenius. Un rezultat senzational (prima categorie e una pur geometrica – am nevoie de un geometru diferential care sa mi-o explice! ) care a redeschis domeniul alegebrelor Frobenius si l-a revitalizat puternic in ultimii ani.

2) Exercitiu de mai sus, care se poate face la mana, e parte dintr-o teorema mai larga: theorema Gaschutz – Ikeda aparuta in 1952 – 1953 inti in teoria reprezentarilor de grupuri (pentru studiu reprezenatarilor idecompozabile ale unui grup) si generalizata apoi imediat pentru modulele peste algebre … Frobenius!

Legat de consecinta de la exercitiu imi amintesc o problema pe care mi-am mai pus-o cu ani in urma: 

Intrebare: Caracterizati toate inelele R cu propietatea ca orice R-modul sting se scufunda intr-un R-modul liber?

O fi studiata clasa asta de inele pe undeva? Pare destul de vasta: orice algebra Frobenius (in particular orice algebra Hopf finit dimensioala) are propietatea asta.

Februarie 10, 2008 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: