Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

4 probleme: module, coindus, descent, transformari naturale

1) Fie R un inel. Determinati clasa tuturor R-modulelor stingi A care satisfac urmatoarea propietate:

  • Oricare ar fi M un R-modul sting, oricare ar fi v : A \rightarrow M morfism de R-module stingi, exista m \in M si exista g: A \rightarrow R morfism de R-module stingi a.i. v( a) = g (a) m, oricare ar fi a \in A.  

Comentariu: De unde am venit cu problema? Fie A este R-bimodul (poate e mai bine sa pun in enuntul problemei de mai sus ca A este R-bimodul), _RHom (A, - ) este functorul reprezentabil (coindus) de la R-Mod la R-Mod si Id e functorul identitate al categoriei de R-module stingi R-Mod.

2) Determinati clasa tuturor transformarilor naturale de la functorul _RHom (A, -) la functorul identitate Id.

Mie nu mi-au iesit!😦 (in directia cealalta e OK vezi exercitiu de mai jos):   La un moment dat ajung la problema de sus. Bine, chiar daca am raspunsul la problema scurta si placuta (banuiesc ca A este izomorf cu R sau cu „citeva bucati ale lui R” – de exemplu, daca nu intuiesc prost, s-ar putea ca  A sa fie proiectiv finit generat ca R-modul sting) tot nu imi rezolva problema de a determina acea clasa decit pentru acele R-bimodule care satisfac acea conditie extrem de rigida. Pare nici sa nu mearga in general (pentru A = arbitrar).

Structura folosita mai sus: daca M este R -modul sting atunci structura de R-modul sting pe _RHom (A, M) e data de structura de R-modul drept a lui A: i.e. (r \cdot f ) (a) := f (ar).

3) Clasa tuturor transformarile naturale ce pleaca din functorul identitate Id in functorul coindus  _RHom (A, - )  este in bijectie cu multimea _R Hom_R (A, R) a aplicatiilor de R-bimodule de la A la R. (demonstrati asta !)

In fapt, frecind azi una alta la mica mea problema de inceput (vezi raspunsul in comentariu urmator) imi este clar ca ea are legatura cu teoria descentului dar nu pentru functorul indus asa cum e facuta ea clasic de mari maestri (Grothendieck, Serre, etc) ci pentru functorul coindus care pare chiar mai nasoal. Mai precis pot formula urmatoare chestie pe care o sa o numesc „prima problema a teoriei descentului pentru coindus”:

4) Fie A un R-bimodul. Cine este imaginea functorului coindus _R Hom (A, -) : _R Mod \rightarrow _R Mod ?

Ei da: asta deja e o problema ce pare super misto si probabil foarte grea. Imi place de ea ca e a mea.🙂  Prima problema din teoria descentului clasic este sa gasesti imaginea functorului indus A \otimes_R - si imaginea respectiva e categoria comodulelor pentru coringul canonic al lui Swedler?

Memo: Sa discut cu Stef sau Dragos (cit mai are timp pana nu e decan ) daca a vazut pe undeva facuta teoria descentului pentru functorul coindus.

Ianuarie 14, 2008 - Posted by | Uncategorized

3 comentarii »

  1. Haideti mai copii nu avem nici un raspuns inca la prima problema. Sau sunteti in sexiune cu multe examene si verificari pe cap? Lasati-le’n colo de examene ca stiti si voi vorba ceea: prea multa carte strica la cap!🙂

    Pai sa va dau o indicatie atunci: ce intuiesm ieri (ca A e R-modul proiectiv finit generat) e apoape de adevar dar raspunsul e chiar mai restictiv: A e chiar ciclic ca R-modul sting si evident proiectiv. Mai precis puteti arata asa (sper sa nu fi gresit pe la socoteli): A verifica conditia (*) daca si numai daca A e sumand direct in R ca R-modul sting.

    Mergind mai departe la acele calcule de transformai naturale … e inca open problema. Sigur pentru bimodule A care ca R-module stingi sunt sumanzi directi in R avem raspunsul dar e cam putin. Trebuie alt maner pentru problema!

    Comentariu de gigelmilitaru | Ianuarie 16, 2008

  2. Prima problema pare, formal, o generalizare a problemei din postul urmator de pe blog, dar de fapt e la fel de grea🙂 (diferenta fiind insa ca acolo e vorba despre bimodule, pe cand aici A e doar modul stang).

    Ce se intampla daca se aplica proprietatea pentru M=A si morfismul identic v:A\to A? O sa iasa exact faptul ca A e sumand direct in $\latex R$ (ca R-modul stang), adica ideal stang de forma Re, unde e e un element idempotent al lui R. Reciproc e si mai usor (adica se vede usor ca daca A e ideal stang de forma Re cu e\subset R idempotent, atunci are proprietatea din enunt).

    Pe scurt, raspunsul la prima intrebare este: R-modulele stangi cu proprietatea respectiva sunt idealele stangi ale lui R generate de elemente idempotente.

    Fara legatura cu discutiile de natura matematica de pe aici: pe site-ul asta nu se poate previzualiza mesajul inainte sa-l postez? Ca mi-ar fi placut sa corectez eventuale erori de LaTeX sau mai stiu eu ce inainte sa dau drumul mesajului. Dar nu vad decat butonul „Submit Comment”.

    Comentariu de Alexandru Chirvasitu | Ianuarie 20, 2008

  3. > pe site-ul asta nu se poate previzualiza mesajul inainte > sa-l postez?

    nu are butonul ala? Nici editeaza nu este? Nu ma pricep eu pe unde or fi ascunse pe aici. Stie cineva unde sa le caut ca nu ma prea pricep? Ma bucur ca nu mai trebuie sa moderez comentariile si apar

    Prima problema avea solutia in primul meu comentariu🙂 incerca la celelalte.

    Comentariu de gigelmilitaru | Ianuarie 20, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: