Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

O problema de grupuri

Fie E un grup, H \unlhd E un subgrup normal al sau si H= abelian. Fie C_E (H) = centralizatorul lui H in E (elementele lui E care comuta cu toate elementele lui H).

Aratati ca I \cap C_E (H) \neq 1, pentru orice subgrup normal I \neq 1 al lui E?

Ati vazut-o pe undeva? In primul comentariu e solutia data de Alex Chirvasitu, student anul IV, Bucuresti.

Comentariu: Problema de mai sus e o varianta la nivel de grupuri a unui tip de probleme extrem de raspindite in teoria inelelor.  

Problema generala: Fie R \subset S o extindere de inele. Cind R \cap I \neq 1, pentru orice ideal (bilateral, in caz necomutativ) I \neq 1 al lui S?

Genul asta de teoreme, pentru diverse tipuri de extinderi (trebuie facut de la caz la caz, depinde de tipul de extindere  evident ca nu e valabila in general) in teoria inelelor, pot constitui rezultate destul de ‘puternice’ in algebra in teoria idealelor. Cred ca in algebra comutativa va poate spune mai multe Tibi Dumitrescu la ce sunt bune. Pentru extinderi crossed in inele necomutative o teorema foarte misto si noua e mai jos.

Sa dau un ultim exemplu de astfel de teorema demostrata in octombrie 2007: aici http://xxx.lanl.gov/PS_cache/arxiv/pdf/0710/0710.0065v1.pdf e un articol din 2007 a doi tineri: i-am cunoscut in Almeria in toamna – Johan, e belgian l-am vazut pentru prima oara, mi-a scris asa dupa talk-ul meu: „in sfirsit am vazut si eu cea mai buna conferinta prezenta in Almeria !”  :) – ups, ma laud singur pe aici si nu-i frumos🙂 http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2007/catedre/algebra/g_militaru/Talk%20Almeria%202007.pdf – aici e talk-ul dat acolo si cred ca ma cearta Ana ca de peste un an de zile de cind am demonstrat rezultatele alea inca nu am termintat de finisat articolul si trimis undeva :)  – daca ar sti ea ca am stat la articole ‘gata’ si trei ani cu ele pe birou pana le-am trimis la publicat🙂 ) despre produse crossed la nivel de algebra. Teorema 5.1 din articolul lor (demostratia are 2 pagini) este exact varianta problemei de mai sus pentru extinderea A \subset A \star G (ultimul inel e un produsul crossed pe care l-am predat anul trecut la optional asociat unui inel si un grup cu o actiune slaba si un 2-cociclu).

Ei bine din cite constatati la nivel de grupuri acea teorema de doua pagini are demostratie (data de Alex) in 3 rinduri!🙂

Ianuarie 10, 2008 - Posted by | Uncategorized

5 comentarii »

  1. Pai sigur ca e adevarat🙂.

    Daca I intersecteaza H netrivial, gata: orice element netrivial din I\cap H e si in I\cap C_E(H). Daca I\cap H=\{1\}, atunci K=IH e grup cu urmatoarele proprietati: (i) H si I sunt ambele normale in K; (ii) I\cap H=\{1\}. K trebuie deci sa fie produsul direct I\times H, si orice element netrivial din I o sa centralizeze H.

    P.S.

    Ca tot suntem „in zona”, si e vorba de grupuri, mi-am amintit de problema aia cu grupuri care au ambele conditii de finitudine pentru lanturi (ACC si DCC). Problema era: sunt sau nu finite? Asta nu e problema deschisa. Nu sunt neaparat finite, si contraexemple sunt furnizate de asa-zisii „monstri Tarski”. Astea sunt grupuri infinite cu proprietatea ca orice subgrup propriu netrivial e ciclic finit. Ca intr-adevar exista e greu de demonstrat, se pare, dar e adevarat. Dau doar un link la un articol minuscul din enciclopedia Wikipedia:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski_monster_group

    Se gasesc informatii cu Google („Tarski monster”, sau „Tarski monster group”).

    P.P.S.

    Mai destept blogul asta, ca suporta LaTeX. E mai bine asa, se scrie mai usor si arata mai frumos🙂.

    Comentariu de Alexandru Chirvasitu | Ianuarie 10, 2008

  2. Salut Alex si bine ai venit. Da e mult mai misto ca are latex si aici o sa fac numai mate, fara „politica”. La un moment dat ma refugiez aici (adica curind ca am scapat de Chitescu) de tot. Inca invat cum sa il folosesc: cum sa fac sa nu mai fie moderate comentariile? Ce naiba trebuie sa apas.

    Vezi ca pentru latex nu e suficient sa pui semnul $ ci trebuie scris si $ latex formula … $ Am pus un link pe blog unde este.

    Comentariu de gigelmilitaru | Ianuarie 10, 2008

  3. Problema 1 de grupuri se poate extinde oleaca (inlocuind „abelian” cu „nilpotent”) astfel pentru grupuri finite:

    Fie G grup finit, fie H un subgrup normal nilpotent al lui G. Daca K e un subgrup normal netrivial al lui G, atunci C_K(H)>1.

    Dem. Daca H\cap K =1, atunci [H,K]=1 si deci K e inclus in C_G(H). In caz contrar, H\cap K e un subgrup normal netrivial al grupului nilpotent H si ca atare Z(H\cap K)>1, terminand demonstratia.

    Nu-i o prea mare branza, doar un exercitziu standard de anul I.

    Va propun (de printre nisipuri) urmatorul exercitziu:

    Fie G un grup finit si fie H un subgrup al lui G astfel incat pentru orice prim p care divide |G| si pentru orice
    p-subgrup Sylow P al lui G subzista egalitatea
    G=HN_G(H\cap P). Sa se arate ca H e subgrup normal al lui G.

    Reciproca e binecunoscuta (adica H normal in G implica egalitatea) si e cunoscuta sub numele de „argumentul lui Frattini” – textele lui Rptman sau Scott contzin „argumentul lui Frattini”. Reciproca asta am gasit-o acum cativa ani
    si pare a fi un bun exercitiu pentru tema „teoremele lui Sylow”.

    Cele bune, Nea Marin

    Comentariu de Nea Marin | Martie 5, 2008

  4. Salut Nea Marin! Nici aici nu scap de tine? :):):) Glumesc desigur.

    Bun sosit pe blog si astept si alte comentarii si probleme propuse de tine.

    Pentru tineri: Nea Marin este nick-ul unui prof univ de la Univ. din Kuweit. Plecat de la Timisoara, nea Marin este unul din putinii ‘grupisti’ romani. Sper sa me insoteasca mai des prin problemele noastre.

    A, problema pe care o lasi am sa o fac topic separat sa o pus mai in fata ca aici sta ascunsa.

    Toate cele bune! Iar daca tu ne saluti dintre nisipuri (cum e vremea acum acolo?) eu va salut din Voluntari!🙂

    Comentariu de gigelmilitaru | Martie 6, 2008

  5. […] Problema de grupuri a lui Nea Marin Il citez pe Nea Marin (pentru studenti este vorba de prof. univ. dr. Marian Deaconeascu, de la Univ. of Kuweit) de la https://gigelmilitaru.wordpress.com/2008/01/10/o-problema-de-grupuri/ […]

    Pingback de Problema de grupuri a lui Nea Marin « Algebra Necomutativa. Categorii | Martie 6, 2008


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: