Noncommutative Algebra

Gigel Militaru: teaching, research & academic news

Functori reprezentabili

Exercitiu: Pentru orice categorie {\mathcal C} exista un functor F : {\mathcal C} \to Set care nu este reprezentabil.

Solutie 1 (Alex Chirvasitu): Peresupunem ca  {\mathcal C} e o categorie a.i. orice functor F : {\mathcal C} \to Set este reprezentabil.  Consideram functorul scufundarea Yoneda Y (care e functor fidel, ful si injectiv pe obiecte) Y (A) : = Hom_{{\mathcal C}}(A, - ) definit pe duala lui {\mathcal C} cu valori in Functors ({\mathcal C}, Set)  

Folosind teorema de caracterizare a echivalentelor obtinem ca Y este echivalenta de categorii (remember: am presupus ca orice functor F : {\mathcal C} \to Set e reprezentabil!). Dar Functors ({\mathcal C}, Set)  este o categorie AB3 (i.e. exista sume directe arbitrare – exercitiu pentru cei ce nu cred – le folositi pe cele din Set, i.e. reuniunile disjuncte). Deci duala categoriei  {\mathcal C} are AB3 i.e.  {\mathcal C} e o categorie AB3* (i.e. exista produse directe arbitrare).

Fie acum A o multime cu doua elemente: atunci functorul constant F : {\mathcal C} \to Set, F(C): = A, F(f) = Id_A, pentru orice C \in {\mathcal C} si f morfism in {\mathcal C} nu e functor reprezentabil. In adevar, daca F\cong Hom_{{\mathcal C}}(X, - ) atunci acest din urma functor comuta cu produsele directe si …. gata ca pentru C si D obiecte in {\mathcal C} exista produsul lor direct si deci … 2=4, fals!

Solutie 2 (Ana Agore): aratam direct ca pentru orice multime cu doua elemente A functorul constant

F : {\mathcal C} \to Set, F(C): = A, F(f) = Id_A, pentru orice C \in {\mathcal C} si f morfism in {\mathcal C} nu e functor reprezentabil.

Presupunem ca e reprezentabil si fie un obiect de reprezentabiliate (C, c), unde C \in {\mathcal C} si c un elemente al multimii F(C). Atunci: oricare $latex B \in {\mathcal C}$ oricare x in F(B) exista si e unic un morfism f: C \to B a.i. F(f)(c) = x (vezi de exemplu: Preigis http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~pareigis/Vorlesungen/AdvAlgebra/advalg.pdf )

In particular, fie B = C si x \in F(B) = A , x diferit de c (A are doua elemente). Atunci exista si e unic un morfism f: C \to B a.i. x = F(f) (c) = c, fals.

 Deci functorul constat nu e reprezentatabil.

Noiembrie 23, 2007 - Posted by | Uncategorized

Niciun comentariu până acum.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: