Anul I, algebra seria 13: teoria pentru examen

Subiectele detaliate pentru partea de teorie pentru semestrul II sunt mai jos si vor fi definitivate maine la curs. La examen vor fi patru subiecte: doua de teorie si doua probleme. Unul de teorie fara demostratii (definitii, exemple, proprietati) si altul va fi o teorema cu demostatie. O problema va fi din prima parte a materiei (inele) si alta din partea a doua (algebra liniara si forma Jordan). Cu bold sunt teoremele la care cer si demostratie. La celelalte NU cer demostratie ci sa stiti foarte bine si riguros enuntul si mai ales sa le aplicati in probleme.

Lista subiecte detaliate:

1) Inele, subinele, ideale, morfisme de inele, divizori ai lui zero, elemente inversabile. Definitii, exemple, proprietati. 2) Inel factor. Teorema fundamentala de izomorfism pentru inele. 3) Corpuri, subcorpuri, corpuri prime. Caracteristica unui corp. 4) Corpul de fractii al unui domeniu de integritate. 5) Inele de polinoame. Proprietatea de universalitate. 6)Inele de polinoame: radacini, proprietati. 7) Teorema de impartire cu rest a polinoamelor. 8 ) Polinoame simetrice: definitie, inelul polinoamelor simetrice. Polinoame simetrice fundamentale. 9) Teorema fundamentala a polinoamelor simetrice (enunt, fara demonstratie). 10) Spatii vectoriale: definitie, exemple, subspatii, aplicatii k-liniare. 11) Dualul si bidualul unui k-spatiu vectorial. 12) Spatii vectoriale factor. Teorema fundamentala de izomorfism. 13) Sistem de generatori, multimie liniar independeta, baze: definitie, proprietati, exemple. 14) Teorema bazei (enunt, fara demostratie). Prelungirea prin liniaritate. 15) Teorema schimbului (enunt). 16) Teorema fundamentala a dimensiunii. 17) Teorema Grassmann. 18) Matrici de trecere de la o baza la alta: definitie si proprietati. 19) Dualul unui k -spatiu si baze duale. 20) Aplicatii multiliniare alternate (AMA): teorema fundamentala a AMA (enunt, fara demostratie). 21) Determinanti: definitie, existenta, unicitate.  22) Inversa unui matrici. 23) Teorema Cramer 24) Rangul unei matrici: teorema Kronecker. 25) Teorema Kronecker-Capelli 26) Sisteme omogene.  27) Matricea atasata unui endomorfism. 28) Matrici asemenea: asemanarea matricilor atasate unui endomorfism.  29) Teorema Hamilton – Cayley (enunt). 30) Matrici echivalente si relatia cu asemanarea via matricea caracteristica (enunt). 31) Transformari elementare. 32) Forma diagonal canonica a unei matrici. 30) Factorii invarianti ai unei matrici: defintie si proprietati. 33) Matricea companion a unui polinom: definitie si proprietati. 34) Celule Jordan. Matrice Jordan. Teorema Jordan (fara demostratie). 35) Polinomul minimal al unei matrici.