Algebre Hopf: cursurile 10 si 11

Curs 10, marti 28 aprilie 2009 (curs recuperat din zilele de Pasti): Alte exemple de algebre Hopf. Module Hopf: exemple de module Hopf. Adjunctii functorilor uituci pentru module Hopf. Functorul de luare a coinvariantilor: reprezentabilitatea sa si adjunctul la stinga pentru bialgebre. Teorema fundamentala pentru module Hopf. Actiuni de algebre Hopf pe k-algebre (H-modul algebre): definitii echivalente si cele patru concepte de H-(co)modul (co)algebre.

Curs 11, joi 30 aprilie 2009. Scopul cursului de maine este de a arata ca exista o teorie bogata a actiunilor de algebre Hopf care unifica diverse domenii ale matematicii pana acum nelegate intre ele si studiate distinct. Produs smash: constructie si reprezentarile sale (th. Gordon-Robson). Exemple de actiuni si produse smash: produse semidirecte de grupuri, actiuni de grupuri pe k-algebre si skew group algebra, inele graduate si produsul smash (Quinn), actiuni prin derivari ale algebrelor Lie si inelul de polinoame diferentiale, dublul Heisenberg (teorema de structura Montgomery), etc– toate astea si altele sunt cazuri speciale ale contructiei Sweedler a produsului smash asociate unei actiuni de algebre Hopf pe k-algebre. 

Curs 9 Algebre Hopf si solutii la lista 2

Conform intelegerii saptamina viitoare avem doua cursuri: unul marti, orele 14-17, sala 215 cind vom recupera cursul din joia mare si apoi joi la ora obisnuita.

Curs 9: Teorema de echivalenta/dualitate pentru grupuri finite si algebre Hopf. Exemple de algebre Hopf: algebra grupala, duala algebrei grupale, algebra tensoriala, algebra simetrica, algebra anvelopanta unei algebre Lie. Perechea de functori adjuncti intre categoria algebrelor Lie si algebre Hopf. Alte exemple de algebre Hopf (I): Gl(n), Sl(n), algebre de polinoame, etc.

Solutii la lista 2 de probleme au dat in ordinea primirii: Alex Chirvasitu la link-ul http://gigelmilitaru.wordpress.com/2009/03/27/curs-6-si-lista-2-de-probleme/#comments, Preda Ionela in fisierul astasat http://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/04/predaionelaset2.pdf , Cristi Popa in fisierul atasat http://gigelmilitaru.files.wordpress.com/2009/04/cristipopa_lista_2.pdf iar in foi scrise de mana mi-au dat solutiile joi la curs: Costel Bontea, Ana Agore si Simona Radu.

Algebre Hopf curs 8

Algebre Hopf curs 8, joi 9.04.2009.  (Co)Generatori pentru categoria de coalgebre, bialgebre. Duala unei bialgebre finit dimensionale. (C0)module peste bialgebre. Algebre Hopf, duala unei algebre Hopf finit dimensionale. Categoria algebrelor Hopf nu are cogeneratori si are un generator. Proprietatile antipodului. Perechea de functori adjuncti intre categoria grupurilor si categoria algebrelor Hopf si functorul scufundare (categoria grupurilor este echivalenta cu o subcategorie de algebre Hopf).  

Curs 7 Algebre Hopf, noi Referate. Seminar Stiintific

Algebre Hopf curs 7, joi 2.04.2009.  Comodule vs Module. Functorul fidel si ful de la categoria de comodule la categoria de C*-module. Module rationale: echivalenta de categorii intre modulele rationale si comodule. Bye, bye coalgebras (*). Bialgebre: definitie. Categoria Bialgebrelor si constructia bialgebrei liber generate de o coalgebra.

(*) Ne luam ramas bun de la coalgebre pentru a merge mai departe in teoria biagebrelor si algebrelor Hopf. Exista o bogata teorie a coalgebrelor si comodulelor pentru cei ce doresc sa aprofundeze domeniu. Unele rezultatate sunt dualizari mecanice ale unor concepte, teoreme din teoria algebrelor si a modulelor altele insa NU sunt si sunt teme provocatoare de studiu. Las citeva referate (ca tot e inghesuiala mare la ele) din cartile standard la care am tot facut referire [Sw], [Abe], [Dascalescu N R], [Brezinski, W]. Iata patru propuneri de referate: 1) Filtrarea coradical a unei coalgebre.  2) Coalgebre pointed.  3) Coalgebre cosemisimple 4) Coalgebre co-Frobenius.

Seminarul Stiintific studentesc in semestrul II. Joia orele 14-16, sala 215. Cele 5 teme mari abordate in acest semestru.

Tema 1) Dualitate si reconstructie Tannaka-Krein: 3 expuneri Adriana Balan, UPB. Datele 19, 26 februarie 2009 si 5 martie 2009.

Tema 2) Categorii C-Frobenius sau cind functorul limita inversa este izomorf cu functorul limita directa: 3 expuneri Alex Chirvasitu. Datele: 12, 19, 26 martie 2009.

Tema 3) Duala finita a unei coalgebre (adjunctia Kostant), cofree coalgebra si aplicatii: 3 expuneri Ana Agore. Datele 2, 9, 23 aprilie. Joia de joi 16 aprilie (“joia mare” sau  ”joia patimilor” pentru crestini) nu facem seminar: o folosim ca zi de reflexie si meditatie pentru toti cei ce au avut de suferit si din cauza rautatii gratuite a semenilor nostrii. Din antichitate pana in zilele noastre.

Tema 4) Constructia algebrei universale cu o coactiune (Tambara construction) si a algebrei Hopf liber generate de o bialgebra (Takeuchi construction): 2 expuneri Dragos Fratila. Date: 30 aprilie si 7 mai 2009.

Tema 5) Clase speciale de functori in teoria coringurilor. Pledoarie pentru coringuri si Bialgebroizi (quantum grupoizi). Expuneri Gigel Militaru. Date incepind din 14 mai pana cind … ne saturam (1 iulie?) Posibil ca in luna iunie Miu Iovanov sa faca expuneri despre “Categorii fuziune” pe care le-a invatat in stagiul (finantat din grant) de la MIT. Sunt domenii foarte noi de studiu (articolul care le-a lansat a fost publicat recent in Anale: dar in alea adevarate de la Princeton).